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01 典型例題
10.某中學為了表彰在書法比賽中成績突出的學生，購買了鋼筆30支，毛筆45支，共用了1755元，其中每支毛筆比鋼筆貴4元．\\
（1）求鋼筆和毛筆的單價各為多少元？
（2）①學校仍需要購買上面的兩種筆共105支（每種筆的單價不變）．陳老師做完預算後，向財務處王老師說：“我這次買這兩種筆需支領2447元．”王老師算了一下，說：“如果你用這些錢只買這兩種筆，那麼帳肯定算錯了．”請你用學過的方程知識解釋王老師為什麼說他用這些錢只買這兩種筆的帳算錯了．________
②陳老師突然想起，所做的預算中還包括校長讓他買的一支簽字筆．如果簽字筆的單價為小於10元的整數，請通過計算，直接寫出簽字筆的單價可能為________元．
【分析】（1） 設鋼筆的單價為x元，則毛筆的單價為（x+4）元 ，根據購買30支鋼筆的錢+購買45支毛筆的錢=1755列出方程，求解即可；
（2）①解: 設單價為21元的鋼筆為y支，所以單價為25元的毛筆則為（105﹣y）支 ，根據購買y支鋼筆的錢+購買(105-y)支毛筆的錢=2447列出方程，求解得出y的值，然後根據y應該是整數作出判斷即可；②設單價為21元的鋼筆為z支，簽字筆的單價為a元，根據購買z支鋼筆的錢+購買(105-z)支毛筆的錢=2447-a ,列出方程整理化簡得4z=178+a，然後根據 a、z都是整數，故178+a應被4整除，從而得出a為偶數，又因為a為小於10元的整數，所以a可能為2、4、6、8．然後一一判斷即可。
【答案】（1）解: 設鋼筆的單價為x元，則毛筆的單價為（x+4）元．由題意得：
30x+45（x+4）=1755，解得：x=21，∴毛筆的單價為：x+4=25．
答：鋼筆的單價為21元，毛筆的單價為25元
（2）①解: 設單價為21元的鋼筆為y支，所以單價為25元的毛筆則為（105﹣y）支．根據題意，得
21y+25（105﹣y）=2447．解之得：y=44.5 （不符合題意）．∴陳老師肯定搞錯了 。
②設單價為21元的鋼筆為z支，簽字筆的單價為a元，則根據題意，得
21z+25（105﹣z）=2447﹣a．∴4z=178+a，∵a、z都是整數，∴178+a應被4整除，
∴a為偶數，又因為a為小於10元的整數，∴a可能為2、4、6、8．
當a=2時，4z=180，z=45，符合題意；
當a=4時，4z=182，z=45.5，不符合題意；
當a=6時，4z=184，z=46，符合題意；
當a=8時，4z=186，z=46.5，不符合題意．
所以簽字筆的單價可能2元或6元．
故答案為：2或6．；2或6
02 舉一反三
11.請根據圖中提供的信息，回答下列問題：
（1）一個水瓶與一個水杯分別是多少元？
（2）甲、乙兩家商場同時出售同樣的水瓶和水杯，為了迎接新年，兩家商場都在搞促銷活動，甲商場規定：這兩種商品都打八折；乙商場規定：買一個水瓶贈送兩個水杯，另外購買的水杯按原價賣．若某單位想要買5個水瓶和n（n>10，且n為整數）個水杯，請問選擇哪家商場購買更合算，並說明理由．（必須在同一家購買）
【分析】（1） 設一個水瓶x元，表示出一個水杯為（48﹣x）元， 三個水瓶的總錢數是3x元，4個水杯的總錢數是 4（48﹣x） 元，根據 三個水瓶的總錢數+4個水杯的總錢數=152列出方程，求解即可；
（2）首先根據兩個商場的優惠方式得出買5個水瓶和n（n>10，且n為整數）個水杯各自需要的總錢數，然後分 ①當甲商場所需費用＞乙商場所需費用，②當甲商場所需費用=乙商場所需費用，③當甲商場所需費用＜乙商場所需費用，三種情況分別列出方程或不等式，求解即可得出結論。
【答案】 （1）解：設一個水瓶x元，表示出一個水杯為（48﹣x）元，
根據題意得：3x+4（48﹣x）=152，解得：x=40，則一個水瓶40元，一個水杯是8元
（2）解： 甲商場所需費用為（40×5+8n）×80%= 160+6.4n(元），
乙商場所需費用為5×40+8（n-10）=120+8n(元），
此題分三種情況：
①當甲商場所需費用＞乙商場所需費用，由題意得 160+6.4n＞120+8n，解得 n＜25;
②當甲商場所需費用=乙商場所需費用， 由題意得 160+6.4n=120+8n, 解得 n=25;
③當甲商場所需費用＜乙商場所需費用， 由題意得 160+6.4n＜120+8n, 解得 n＞25;
所以當購買的水杯小於25個的時候，在乙商場合算，當購買的水杯為25個的時候，在甲、乙商場購買勾一樣，當購買的水杯大於25個的時候，在甲商場合算。
03 鞏固練習
12.某採摘農場計劃種植A，B兩種草莓共6畝，根據表格信息，解答下列問題：
（1）若該農場每年草莓全部被採摘的總收入為460000元，那麼A、B兩種草莓各種多少畝？
（2）若要求種植A種草莓的畝數不少於種植B種草莓的一半，那麼種植A種草莓多少畝時，可使該農場每年草莓全部被採摘的總收入最多？並求出最多總收入．
【分析】（1）根據等量關係：總收入=A地的畝數×年畝產量×採摘價格+B地的畝數×年畝產量×採摘價格，列方程求解．（2）這是一道只有一個函數關係式的求最值問題，根據題意確定自變量的取值範圍，由函數y隨x的變化求出最大利潤．
【答案】（1）解：設該農場種植A種草莓x畝，B種草莓（6﹣x）畝，
依題意，得：60×1200x+40×2000（6﹣x）=460000，解得：x=2.5，則6﹣x=3.5，
答：A種草莓種植2.5畝，B種草莓種植3.5畝
（2）解：由x≥ 1/2 （6﹣x），解得x≥2
設農場每年草莓全部被採摘的收入為y元，則：y=60×1200x+40×2000（6﹣x）=﹣8000x+480000，
∴當x=2時，y有最大值為464000，
答：種植A種草莓的畝數不少於種植B種草莓的一半，那麼種植A種草莓2畝時，可使農場每年草莓全部被採摘的總收入最多
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