類型一、“三線八角”模型
【例1】 (1)圖3中，∠1、∠2由直線 被直線 所截而成．
(2)圖4中，AB為截線，∠D是否屬於以AB為截線的三線八角圖形中的角？
【答案】(1) EF，CD； AB． （2）不是 ．
【解析】（1）∠1、∠2兩角共同的邊所在的直線為截線，而另一邊所在的直線為被截線．
（2）因為∠D的兩邊都不在直線AB上，所以∠D不屬於以AB為截線的三線八角圖形中的角．
【總結昇華】判斷 “三線八角”的關鍵是找出哪兩條直線是被截線，哪條直線是截線.
類型二、同位角、內錯角、同旁內角的辨別
【例2】如圖，(1)DE為截線,∠E與哪個角是同位角?
(2)∠B與∠4是同旁內角，則截出這兩個角的截線與被截線是哪些直線？
(3)∠B和∠E是同位角嗎?為什麼?
【答案與解析】
解：（1）DE為截線,∠E與∠3是同位角；
（2）截出這兩個角的截線是直線BC,被截線是直線BF、DE；
（3）不是,因為∠B與∠E的兩邊中任一邊沒有落在同一直線上,所以∠B和∠E不是同位角.
【總結昇華】確定角的關係的方法：（1）先找出截線，由截線與其它線相交得到的角有哪幾個；（2）將這幾個角抽出來，觀察分析它們的位置關係；（3）再取其它的線為截線，再抽取與該截線相關的角來分析.
舉一反三：
【變式】如圖，下列判斷錯誤的是（ ）．
A. ∠1和∠2是同旁內角． B. ∠3和∠4是內錯角．
C. ∠5和∠6是同旁內角． D. ∠5和∠8是同位角．
【答案】C
【例3】如圖，∠ABD與∠BDC，∠ADC與∠BCE，∠ABC與∠BCD，∠ADB與∠DBC分別是哪兩條直線被哪一條直線所截而成的？它們分別是什麼角？
【答案與解析】
解：∠ABD與∠BDC是由直線AB，DC被直線BD所截而成的，是內錯角，
∠ADC與∠BCE是由直線AD，BC被直線DE所截而成的，是同位角，
∠ABC與∠BCD是由直線AB，DC被直線BC所截而成的，是同旁內角，
∠ADB與∠DBC是由直線AD，BC被直線BD所截而成的，是內錯角.
【總結昇華】要分析各對角是由哪兩條直線被哪一條直線所截的，可以把複雜圖形按題目要求分解成簡單的圖形後，結論便一目瞭然.
舉一反三：
【變式】如圖∠1、∠2、∠3、∠4、∠5中，哪些是同位角？哪些是內錯角？哪些是同旁內角？
【答案】
解：同位角：∠5與∠1，∠4與∠3；
內錯角：∠2與∠3，∠4與∠1；
同旁內角：∠4與∠2，∠5與∠3，∠5與∠4.
【例4】分別指出下列圖中的同位角、內錯角、同旁內角.
【答案與解析】
解： 同位角：∠B與∠ACD，∠B與∠ECD；
內錯角：∠A與∠ACD，∠A與∠ACE；
同旁內角：∠B與∠ACB，∠A與∠B，∠A與∠ACB，∠B與∠BCE．
【總結昇華】在複雜圖形中，分析同位角、內錯角、同旁內角，應把圖形分解成幾個“兩條直線與同一條直線相交”的圖形，並抽取交點處的角來分析．
舉一反三：
【變式】請寫出圖中的同位角、內錯角、同旁內角．
【答案】
解：∠1與∠5，∠2與∠6，∠3與∠7，∠4與∠8是同位角；
∠2與∠8，∠3與∠5是內錯角；
∠2與∠5，∠3與∠8是同旁內角.
類型三、同位角、內錯角、同旁內角大小之間的關係
【例5】如圖直線DE、BC被直線AB所截，
(1)∠1和∠2、∠1和∠3、∠1和∠4各是什麼角？每組中兩角的大小關係如何？
(2)如果∠1=∠4，那麼∠1和∠2相等嗎？∠1和∠3互補嗎？為什麼？
【答案與解析】
解：(1)∠1和∠2是內錯角；∠1和∠3是同旁內角；∠1和∠4是同位角． 每組中兩角的大小均不確定．
(2) ∠1與∠2相等，∠1和∠3互補. 理由如下：
① ∵∠1=∠4（已知）
∠4＝∠2（對頂角相等）
∴∠1＝∠2.
② ∵∠4＋∠3＝180°(鄰補角定義)
∠1＝∠4(已知)
∴∠1＋∠3＝180°
即∠1和∠3互補.
綜上，如果∠1=∠4，那麼∠1與∠2相等，∠1和∠3互補．
【總結昇華】在“三線八角”中，如果有一對同位角相等，則其他對同位角也分別相等，並且所有的內錯角相等，所有同旁內角互補．
舉一反三：
【變式1】若∠1與∠2是內錯角，則它們之間的關係是 ( ) ．
A．∠1＝∠2 B．∠1＞∠2 C．∠1＜∠2 D．∠1＝∠2或∠1＞∠2或∠1＜∠2
【答案】D
【變式2】下列命題：①兩條直線相交，一角的兩鄰補角相等，則這兩條直線垂直；②兩條直線相交，一角與其鄰補角相等，則這兩條直線垂直；③內錯角相等，則它們的角平分線互相垂直；④同旁內角互補，則它們的角平分線互相垂直，其中正確的個數為（ ）．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C （提示：②④正確）．
類型四、平行線的性質
【例6】如圖所示，如果AB∥DF，DE∥BC，且∠1＝65°．那麼你能說出∠2、∠3、∠4的度數嗎?為什麼．
【思路點撥】本題已知條件中，包含了兩個層次：第一層次是由DE∥BC，可得∠1＝∠4，∠1+∠2＝180°；第二層次是由DF∥AB，可得∠3＝∠2或∠3+∠4＝180°，從而解出∠2、
∠3、∠4的度數．
【答案與解析】
解：∵ DE∥BC，
∴ ∠4＝∠1＝65°(兩直線平行，內錯角相等)．
∠2+∠1＝180°(兩直線平行，同旁內角互補)．
∴ ∠2＝180°-∠1＝180°-65°＝115°．
又∵ DF∥AB(已知)，
∴ ∠3＝∠2(兩直線平行，同位角相等)．
∴ ∠3＝115°(等量代換)．
【總結昇華】平行線的性質：由兩條直線平行的位置關係得到兩個相關角的數量關係．
舉一反三：
【變式】如圖，已知l1//l2,l3//l4，且∠1=48°，則∠2＝ ，∠3＝ ，∠4＝ .
【答案】48°，132°，48°
類型五、兩平行線間的距離
【例7】如圖所示，直線l1∥l2，點A、B在直線l2上，點C、D在直線l1上，若△ABC的面積為S1，△ABD的面積為S2，則( ).
A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不確定
【答案】B
【解析】因為l1∥l2，所以C、D兩點到l2的距離相等．同時△ABC和△ABD有共同的底AB，所以它們的面積相等．
【總結昇華】三角形等面積問題常與平行線間距離處處相等相結合．
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