10個人中的第1名，和100個人中的第10名，哪個厲害？

10個人中的第1名，和100個人中的第10名，哪個厲害？

這個數學問題，其實等價於：100 個人裡隨機抽取 10 個人，他們中的第 1 名，在 100 個人中的平均排名，是在第 10 名以前，還是第 10 名以後？

對於這個問題，直接用各個名次的概率分佈算期望值，大概會比較麻煩，我現在在地鐵上，也算不出來。

但我想到一種「奇妙」的解法：

設有 100 個球要排序，我先取出 10 個球排成一排，然後把剩下的 90 個球隨機塞在最左、最右或者任意兩個球之間。

最初 10 個球之間的縫隙，算上最左、最右，共有 11 個。所以平均來講，每個縫隙會塞 90/11 個球。

於是，最初 10 個球中最左邊的那個球（也就是第 1 名），平均最終會排在 101/11 的位置上。

這個數大約是 9.18，是小於 10 的。

因此，10 個人中的第 1 名，平均來講，要比 100 個人中的第 10 名要好一些。用那個「奇妙」的算法容易算得，它的平均水平，應該等同於 109 個人中的第 10 名，或者，更一般化地說，是在足夠多人參加比賽時的前 1/11。

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進階：那麼，「各個名次的概率分佈」可以算嘛？可以的。

這個公式看起來不好算，其實用 Excel 可以簡單完成：

最終得到的結果同樣是 9.18，這說明之前的算法是正確的。

此外，可以畫出各個排名的概率分佈和累計概率分佈：

可以看到，10 個人中的第 1 名：

• 在 100 個人中排名前 10 的概率是 66.95%，大約是 2/3 的樣子。
• 中位數是在第 7 名，但是由於長尾，平均排名就變成了 9.18。