高中数学：定比点差法及其应用

一、定比分点

若，则称点为点、的

当时，点在线段

当（

定比分点坐标公式：若点，，，则点的坐标为

二、点差法

点差法其实可以看作是方程的相减，是对方程的一个巧妙的处理。

若点在有心二次曲线

上，则有

两式作差得

此即有心二次曲线的垂径定理，可以解决与弦的中点相关的问题．

1、弦的中点

点差法一个妙用：

例1 已知椭圆 ，直线 交椭圆于 两点， 为 的中点，求证： 为定值。

分析 用常规方法设直线也可以解决，但是计算就很繁杂，在这里使用点差法。

解 设 ， ，

在椭圆上： ，

作差得：

即： ，

因为

所以 ，为定值。

以上结论与弦的中点有关，也称为垂径定理。

考虑当椭圆为圆的时候， ，则 ， ，正好也符合圆的“垂径定理”。

在双曲线中 同样有类似的结论，但定值为 ，在这里就不再推导了。

2、弦上的定比分点

当弦上的点不再是中点时，就成了定比分点：

设 ， ， ，则 点坐标可以表示为：

，

证明 设 ， ，化简可得：

，同理

这时候就出现了 这样形式的式子。

如果再凑出 ，可能大家就会有点感觉了：

可以将椭圆的方程乘上一个 再作差，得到这样的式子。

因此我们想到了“定比点差法”这样的技巧。

例2 已知椭圆 ， 在椭圆外，过 作直线 交椭圆于 两点， 在线段 上且满足： ，求证：点 在定直线上。

分析 按照以上思路，要出现 和 这样的式子，很容易想到设 的坐标，再表示出 的坐标。

解 设 ， ， ，

则 ，结合图形得：

则 ，

在椭圆上： ①， ②

得：

即

，所以 在定直线 上。

下面介绍定比点差法：

若点在有心二次曲线上，则有

两式作差得

这样就得到了

例7、过异于原点的点引椭圆

证明：直接运用定比点差法即可．

设，则有，设

例8、已知椭圆，过定点的直线与椭圆交于两点（可以重合），求

解析：设，，则

．

于是

，于是

又因为点在椭圆上，所以有

两式相减得

将(1)代入(2)中得到

由(1)(3)解得

从而解得的取值范围为

，于是的取值范围为

．

例9、设、为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，直线

证明：设，，，则于是有又由点

例10、已知椭圆，点，过点作椭圆的割线，

解析：因为三点共线，三点也共线，且

设，，则，设与轴的交点为

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關鍵字: 比分 取值 椭圆