18世紀後半葉到20世紀初是數學史上的超英雄時代,此時的歐洲以法國為代表出現了大批的頂級數學家。我們來看看這些熟悉的名字:柯西(Cauchy,1789-1857),拉格朗日(Lagrange,1736~1813),拉普拉斯(Laplace,1749-1827)),蒙日( Monge,1746~1818),泊松( Poisson ,1781~1840)),傅里葉(Fourier,1768-1830),這些數學家都為法國的政治和科學做了巨大貢獻。如果把德國的高斯(Gauss,1777-1855)除外,可以說當時的法國聚集了世界上最天才的數學家。
在這樣一個天才頻出的時代,縱然也是天才,但只要你不能站到塔尖,都不會引起足夠的重視。上面列舉這些著名的數學家中,不知道你有沒有發現遺漏了一個人,他就是在天體力學、數論和橢圓函數等方面有卓越貢獻的數學家勒讓德(Legendre,1752- 1833)。
勒讓德與拉普拉斯、拉格朗日一起被譽為“3L”組合,他們都為法國數學的復興做出重要貢獻,並曾擔任眾多的官方職務。但是在這個組合當中,出道最晚、影響力最小的就是我們的這位勒讓德。同時,除了在法國,我們的勒讓德先生還經常受到身在德國比自己小25的小高斯的“欺負”。究其原因,強中自有強中手,天才數學家勒讓德遇到了更強大的天才“對手”,他的工作具有開創性和啟發性,但比起高斯還不夠精緻,因此,任命記住了高斯,只是偶爾提起勒讓德。但是,勒讓德的貢獻已足以驚動世界,如果換成另一個時代,勒讓德註定會變得更偉大。
1752年9月18日,勒讓德出生於一個富裕家庭,從小就接受到良好的教育。大學時期師從著名數學家阿貝(Abbè),並在18歲(1770)時在馬薩林學院(Collège Mazarin)通過了論文答辯。但是畢業後的勒讓德並沒有急於去找工作,而是呆在巴黎,繼續痴迷於自己的科學研究。看似啃老的勒讓德,沒工作不代表不工作。不到5年時間,勒讓德的工作就吸引了達朗貝爾(d'Alembert,1717-1783),並在其的安排下到軍事學校( École Militaire )教授數學。
年輕勒讓德的科學探索之路正式啟航,1782年他參加了柏林科學院(The Berlin Academy of Science)舉辦的一次競賽活動,活動內容為:Determine the curve described by cannonballs and bombs, taking into consideration the resistance of the air; give rules for obtaining the ranges corresponding to different initial velocities and to different angles of projection。這是一個與戰爭有關的實際問題,勒讓德的參賽論文“Recherches sur la trajectoire des projectiles dans les milieux résistants”獲得了頭籌。
這篇論文引起了當時的柏林科學院數學系主任拉格朗日的注意,拉格朗日寫信給副院士拉普拉斯要求瞭解勒讓德更多的情況。從達朗貝爾、拉普拉斯到拉格朗日,勒讓德憑藉自身實力成功的吸引了法國當時最著名的3個數學家的注意。
一回生兩回熟,在數學界混了個臉熟以後,勒讓德要做的事情就是再接再勵,再創輝煌了。1783年1月,勒讓德將其一篇關於橢球的論文交予法國科學院,在前期建立的良好印象基礎上,勒讓德的這篇論文又一次獲得了拉普拉斯的高度讚揚,這次法國科學院給了他一個大大的驚喜——1783年3月30日,勒讓德雷被任命為科學院的助理院士。
有了一份令人羨慕的工作後,勒讓德又繼續埋頭苦幹。涉及的領域包括:天體力學、數論、橢圓函數、統計學等。
一、天體力學
1784年,勒讓德在Laplace方程的基礎上,經過球函數方程再變換得到了著名的勒讓德函數:
驗證舉例(n=2的勒讓德多項式,是勒讓德函數的解):
由於天體運行和大地測量是當時的流行問題,而在使用球座標求解數學物理方程時,經常會用到勒讓德多項式,因此,即使在今天,勒讓德多項式在物理和工程中都具有較重要的位置。
二、數論
勒讓德關於數論研究的興趣來源於歐拉和拉格朗日的工作,並且作為高斯數論研究的先行者,又往往被高斯超越。這既是幸運,又是不幸。1798年,勒讓德關於數論研究的書籍《數論講義》在巴黎發行,本書試圖將歐拉、拉格朗日的重要發現,以及他自己關於數論的研究盡收囊內。勒讓德關於數論研究的第一個亮點是對方程ax^2+by^2+cz^2=0的拉格朗日解的補充和推廣。
在接下來的章節裡,勒讓德利用該定理“證明?”了著名的“二次互反律”:
這樣一個定理最早由歐拉和勒讓德提出。勒讓德在文中給出了證明,但很快就被高斯找到了漏洞,並否定了。儘管如此,人們還是將(p/q)稱為勒讓德符號。它的意義是:
“二次互反律”揭示了模和剩餘互換位置後的重要關係,是解決很多數論問題強有力的工具。高斯將“二次互反律”譽為算術理論中的寶石,自1796年高斯給出這個定理的第一個證明以後,他一生中熱愛於給出不同的證明,並累計給出了至少7種不同證法。但是這對於勒讓德不是一件好事,高斯給出證明的時間讓勒讓德很受傷,而且自己也無力反駁被高斯指出的證明中的漏洞。更致命的是,隨著高斯經典鉅著《算術探究》在1801年的出版,勒讓德的《數論講義》被取代,甚至其他的數論著作也被遺忘了。
這是勒讓德在數論上最受傷的一次,他被一個後生超越了,但是他自己也是心服口服,畢竟這不是一般的後生,在後面的著作中,勒讓德引用了高斯的一個證明,這也算是一種對高斯的肯定,甚至是妥協。
這樣來自高斯的致命打擊勒讓德還會經歷幾次。這也就包括數理統計經典方法:最小二乘法。
三、 數理統計
為了減少物理測量中遇到的誤差問題,勒讓德創造性的引入了“最小二乘法”:
在實際問題中,一個數據受到多個因素的制約,因此可以根據數據得到多個下面這樣的方程:
E=a+bx+cy+...(其中,a,b,c為已知數,x,y為未知數)
這裡的E指的誤差。根據方程組知識,如果這樣的(含有n個未知數的)方程恰好有n個,則E為0,沒有誤差。但是如果這樣的方程多於n個,那麼誤差E必然存在。那如何使得誤差最小呢?勒讓德的做法是讓所有方程的誤差平方和最小。
即,使得下面的z最小:
勒讓德使用的求和符號與現在不同,他的符號是現在通用的積分符號∫。
“最小二乘法”最早由勒讓德發表於1805年的論文中,但是這次小高斯又出來讓勒讓德“受傷了”。高斯發文說他早在1795年就發現了這個方法,並在1801年結合此方法計算出了穀神星的運動軌跡。勒讓德這一次真有些生氣了,怎麼什麼都是你先發現的?還有完沒完了。兩人為了優先權爭論了好幾年。
撇開優先權不論,高斯的確比勒讓德走得遠得多。勒讓德說,誤差的平方和最小是合理的,但為什麼會合理?或者什麼時候是合理的?勒讓德並沒有說明白。但高斯做到了,高斯第一次的將最小二乘法與概率論結合在一起,並由此開發出一個新工具——“正態分佈”。在這一次爭論中,勒讓德也沒有佔到上風。
四、橢圓積分
橢圓積分是19世紀分析學的重要課題,勒讓德在橢圓積分上做了很多的重要工作。在著作《橢圓函數論》中,勒讓德提出三類基本橢圓積分,證明每個橢圓積分可以表示為這三類積分的組合,並編制了詳盡的橢圓積分數值表,還引用若干新符號,使他成為橢圓積分理論的奠基人之一。但其洞察力並沒有達到雅可比(Jacobi,1804 - 1851)和阿貝爾(Abel,1802 - 1829)的高度。也有一些被後生秒殺的感覺。
勒讓德的這些卓越貢獻讓他在18-19世紀的數學領域佔有一席之地。但是這樣一個天才聚集的時代,他的光輝被其他更厲害的天才(尤其是高斯和拉普拉斯)遮擋了。以至於在公認的最權威的數學史著作《數學大師》中,E.T貝爾專門為拉格朗日、拉普拉斯、蒙日、傅里葉、高斯、柯西等同時代數學家列了傳記,而沒有勒讓德,但這並不妨礙勒讓德的偉大。
古斯塔夫・埃菲爾(1832-1923)在建造法國地標:巴黎(埃菲爾)鐵塔時,勒讓德和這些對法國有巨大貢獻的科學家們,都被永遠的刻在牌匾上。
最後,我們以泊松的一句話結束本文。
Our colleague has often expressed the desire that, in speaking of him, it would only be the matter of his works, which are, in fact, his entire life. ( Poisson)
參考文獻:
1. 普林斯頓數學指南.Timothy Gowers主編.齊民友譯.科學出版社.2016.1
2. 數論:從漢穆拉比到勒讓德.韋伊著.胥鳴偉譯.高等教育出版社.2010.4
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