話說有位禪師......
2012年流行過一種禪師體。記得有位青年問禪師：“大師，我很愛我的女朋友，她也有很多優點，但是總有幾個缺點讓我非常討厭，有什麼什麼方法能讓她改變？” 禪師淺笑，答：“方法很簡單，不過若想我教你，你需先下山為我找一張只有正面沒有背面的紙回來。” 意思是說，世上哪有隻有正面，沒有反面的東西。
青年略一沉吟，掏出一個莫比烏斯環。
禪師拿著青年的莫比烏斯環說：“正面亦是反面，反面亦是正面。優點和缺點，只是看待的角度方式不同罷了。施主既然知曉這莫比烏斯環的深意，又何必在意她的小缺點呢。”
青年拜服，轉身離去。禪師繼續誦經，經書上赫然寫著三個大字：拓撲學。
青年走出禪院，一回望，發現禪院上赫然寫著三個大字“龍泉寺”。
這個有趣的段子當然只是戲言！我想誰也不會閒著沒事向禪師找茬。
不！我錯了。回首歷史，竟然還真有人拿著莫比烏斯環去坑“老禪師”的，甚至還在其自傳《你幹嗎在乎別人怎麼想》裡得意的描述整個事件。他就是諾貝爾物理獎得主理查德·費曼（1918～1988），被認為是愛因斯坦之後最睿智的理論物理學家，24歲時就參與秘密研製原子彈項目的“曼哈頓計劃”，也是第一位提出納米概念的人。
原來，那時這個年輕的天才正在追求一位美女阿琳·格林鮑姆。某次，阿琳正在為一個哲學課作業“笛卡爾的‘我思故我在’”發愁，並提到，“我們老師說，任何事物都像紙張一樣有兩面。”這個可是難得的破綻，於是，費曼為女朋友準備了一條莫比烏斯環紙帶。於是，在第二天課上，她故意等到老師舉著一張紙，說，“任何事物都像紙一樣，有兩面……”。
阿琳舉起莫比烏斯環說：“老師，您所說的都有兩面。可是，我這兒有張只有一面的紙！”話音剛落，那位哲學教授和全班同學都驚奇不已，阿琳自然很得意。從此，……。（懂點拓撲學不僅可以獲物理學諾獎，還可以獲得美人芳心！）
費曼與阿琳·格林鮑姆
這裡不斷提到的，只有一面，沒有反面的莫比烏斯環到底是什麼怪東西呢？
從哥尼斯堡七橋問題談起
18世紀時在歷史名城哥尼斯堡（Königsberg，今俄羅斯加里寧格勒州首府加里寧格勒，也是康德一生沒有離開的故土）的一個公園裡，有七座橋將普雷格爾河（Pregel）中兩個島及島與河岸連接起來。當地的市民從事一項非常有趣的消遣活動——在星期六作一次走過所有七座橋的散步，每座橋只能經過一次而且起點與終點必須是同一地點。問是否可能從這四塊陸地中任一塊出發，恰好通過每座橋一次，再回到起點？這就是著名的“哥尼斯堡七橋問題”。事實上，真要走遍這七座橋的所有走法共有A（7,7）=7！=5040種，一一嘗試顯然不實際。
哥尼斯堡七橋
1735年，有幾名大學生寫信給當時正在俄羅斯的彼得斯堡科學院任職的天才數學家萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler ，1707～1783），請他幫忙解決這一問題。歐拉可是數學史上最多產的數學家，數學史上最偉大的四大數學家之一。在許多數學的分支中經常見到以他的名字命名的重要常數、公式和定理，以至於法國數學家拉普拉斯說：讀讀歐拉，他是所有人的老師。
歐拉
當這樣一位大數學家親自訪問Konigsberg後，開始研究此問題，情況就不一樣了。有時候，我們不得不承認數學史幾乎就是一些天才數學家的歷史。因為，僅用了近一年時間，1736年29歲的歐拉（要知道28歲時歐拉已經開始瞎了一隻眼睛，到59歲時雙目失明）提交了《哥尼斯堡七橋》的論文，圓滿解決了這一問題，他把問題歸結為如圖的“一筆畫”問題,並得出了一個結論：
1.凡是由偶點（與偶數條邊相連的點）組成的連通圖，一定可以一筆畫成。畫時可以把任一偶點為起點，最後一定能以這個點為終點畫完此圖。
2.凡是隻有兩個奇點（與奇數條邊相連的點）的連通圖（其餘都為偶點），一定可以一筆畫成。畫時必須把一個奇點為起點，另一個奇點終點。
3.其他情況的圖都不能一筆畫出。（有偶數個奇點除以二便可算出此圖需幾筆畫成。）
2014韓國數學家大會特製七橋問題郵票以示紀念
而哥尼斯堡七橋中有C、B、D三個奇點，因此，上述一筆畫走法是不可能的。當歐拉發表這一結果時，人們無不驚歎於這位數學家天才的思考方式和解決能力。如今，七座橋只剩下三座橋了，但歐拉絕妙的解答將永載史冊。
歐拉研究的這個問題無意中開創了數學上的新分支――圖論和幾何拓撲學的先聲。即，它只考慮圖形各部分的相對位置關係而不考慮它們的形狀、面積和大小。
舉一個很簡單的例子：圓和方形、三角形的形狀、大小不同，在拓撲世界裡，它們都是等價圖形。而圓周和線段在拓撲意義下就不一樣，因為把圓周變成線段總會斷裂。
你可以拿著一個杯子說，請品嚐一下這個美妙的甜甜圈。當然，在這樣的世界裡，你自己都不知道下一刻是何物了！因此，拓撲學經常被描述成 “橡皮泥的幾何”，是不是很形象？不管你怎麼拉伸橡皮泥，長度、面積、體積都會發生變化，但點還是點，線還是線，相交圖形還是相交圖形。拓撲學就是研究物體在連續變形下不變的性質。其實，我們民間的連環益智遊戲就是一種拓撲遊戲。
杯子和甜甜圈的拓撲形變過程
諾獎委員會手裡拿著的可是甜甜圈
怎麼會想到研究這些性質？首先要提的是大數學家戈特弗裡德·威廉·萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646～1716），歷史上少見的通才，被譽為十七世紀的亞里士多德，微積分的創立者之一。
據說萊布尼茨曾贈送過康熙（中國史上唯一精通數學的真正學帝，你一定無法想像，數學方程式中的“根”、“元”、“次”都是由康熙帝命名的）一個計算器模型。並寫信，建議康熙皇帝在北京建立科學院。
萊布尼茨不滿意笛卡爾的座標系方法，認為有些幾何性質是跟幾何體的大小無關的，從而不能直接在座標系中予以體現。
萊布尼茨
比如幾何體的頂點、邊、面的個數關係。假設一個多面體的點、邊和麵的個數分別設為V、E和F，於是就有F-E+V=2。比如對於立方體，有6個面，12條邊，8個頂點，於是有6 − 12 + 8 = 2。而對於四面體，有4個面，6條邊，4個頂點，也得到4 − 6 + 4 = 2。該公式最早由法國數學家笛卡兒於1635年左右證明，但不為人知。後來還是前面提到的瑞士數學家歐拉於1750年也獨立證明了這個公式，公式中的結果值2稱為歐拉示性數。因此，這個漂亮的公式常被稱為歐拉公式（其實，歐拉公式有很多，歐拉也是數學史上最多產的數學家），有關它的證明我們另談。
歐拉公式郵票
另一個經典的拓撲問題，就是四色問題。與費馬問題和哥德巴赫猜想並稱為世界三大數學猜想。通俗的說就是：每個平面地圖都可以只用四種顏色來染色3，而且沒有兩個鄰接的區域顏色相同。
四色問題
四色問題最先是由一位叫弗南西斯·格思裡（Francis Guthrie）的英國大學生提出來的。倫敦大學學院的數學教授德·摩爾根（Augustus De Morgan，1806～1871）1852年10月23日致哈密爾頓（又是一個神童！四元數的發明者）的一封信提供了有關四色定理來源的最原始的記載。但直到1865年哈密爾頓逝世為止，問題也沒有能夠解決。
奧古斯都·德·摩根（Augustus de Morgen）
哈密爾頓
1872年，英國當時最著名的數學家凱利(Arthur Cayley，1821～1895)正式向倫敦數學學會提出了這個問題，於是四色猜想成了世界數學界關注的問題。
凱利
1976年美國數學家阿佩爾（K.Appel）與哈肯（W.Haken）宣告藉助電子計算機，用了1200個小時，作了100億判斷，終於完成了四色定理的證明。問題也終於成為定理，這是第一個藉助計算機證明的定理。據說，當兩位數學家將他們的研究成果發表的時候，當地的郵局在當天發出的所有郵件上都加蓋了“四色足夠”的特製郵戳，以慶祝這一難題獲得解決。當然，不少數學家並不滿足於計算機取得的成就，他們認為應該有一種簡捷明快的書面證明方法來證明四色問題。
加蓋“四色足夠”的郵戳
莫比烏斯環的發現
前面，我們已經瞭解了多面體的歐拉公式和四色定理。問題是怎樣判定這是一個面或一條邊？比如說：一張四邊形紙條有幾條邊，幾個面？容易知道，有4條邊，2個面。那麼，能否將它變成2條邊，2個面呢？這個也容易做到，只要將它捲成一個圓柱形，即可。怎麼判斷是兩個面？只要用一種顏色的繪筆，在紙圈上的一面塗抹，塗完一個面後，提筆才能重新塗另一個面。邊也一樣。
四邊形紙條捲成圓柱形
那麼再問：能否將它變成1條邊，1個面呢？也就是說，能否用一種顏色，在紙圈上的一面塗抹，最後把整個紙圈全部抹成這種顏色而不留下任何空白？
關於這個問題，很多數學家都有過思考。德國數學家、天文學家莫比烏斯（Moebius，1790～1868）在研究“四色定理”時，也對此發生了濃厚興趣。他長時間專心思索、試驗，毫無結果。
1858年的一天，他被這個問題弄得頭昏腦漲了，便到野外去散步。野外那新鮮的空氣和清涼的風，使他頓感輕鬆舒適，但他頭腦裡仍然只有那個尚未找到的圈兒，就連一片片肥大的玉米葉子，在他眼裡都變成了“綠色的紙條兒”。這就是作為一名數學家的特性。他不由自主地蹲下來，擺弄著、觀察著。葉子彎曲著聳拉下來，有許多扭成半圓形的，他隨便撕下一片，順著葉子自然扭的方向對接成一個圓圈兒。突然，他驚喜地發現，這“綠色的圓圈兒”就是他夢寐以求的那種圓圈。莫比烏斯回到辦公室，裁出紙條，把紙的一端扭轉180°，再將一端的正面和背面粘在一起，這樣就做成了特殊的紙圈兒。接著，莫比烏斯捉了一隻小甲蟲，放在上面讓它爬。結果，小甲蟲不翻越任何邊界就爬遍了圓圈兒的所有部分。莫比烏斯激動地說：“公正的小甲蟲，你無可辯駁地證明了這個圈兒只有一個面。”就這樣有意無意間，莫比烏斯發現了三維歐幾里德空間中的一種奇特的二維單面環狀結構——後人稱之為莫比烏斯環(Mobius strip)。同時獨立發現這個怪圈的還有數學家約翰·李斯丁。
莫比烏斯於1809 年入萊比錫大學學習法律，後轉攻數學、物理和天文，尤其涉及天文和數學兩大領域。擔任過“數學王子”高斯（Gauss ，1777～1855）的助教，後在高斯的推薦下成為特級教授和萊比錫天文臺的觀測員，並於1848年成為萊比錫天文臺臺長。莫比烏斯在數學上有很多貢獻，不過他為世人所知還多半是因為這個用他的名字命名的奇怪曲面：莫比烏斯環。莫比烏斯也因此成了拓撲學研究的先驅者。
奇特的莫比烏斯環
如莫比烏斯所做的，只要將一個長方形紙條ABCD的一端AB固定，另一端CD扭轉180度後，把AB和DC粘合在一起就可得到一條莫比烏斯環。
莫比烏斯環的製作
這個莫比烏斯環的重要特性是：雖然在每個局部都可以說正面反面，但整體上不能分隔成正面和反面，即這種曲面是隻有一個面的 “單側曲面”。
公正的螞蟻無可辯駁地證明了這個圈兒只有一個面
若是在這樣的二維世界裡行走，你不用繞過邊界就可以走遍整個世界。若是用一支筆沿著邊界塗色，不用提筆就可以塗遍整個邊界，就是說它也是一個只有一條邊界的曲面。
這個怪圈因為具有一些奇異的性質而成為數學珍品之一。
下面，就讓我們來探尋它的神秘之處。
（一）若是在莫比烏斯環的中間畫上一條線，然後用剪刀沿著這條線剪開這個莫比烏斯環，將會得到什麼呢？
實驗結果：如果沿著莫比烏斯環中間剪開，和一般的紙帶（會分成斷開的兩條環）不一樣，而會形成一個比原來的莫比烏斯環周長大一倍、把紙帶的端頭扭轉了四次再粘合一起的環。
（二）若是在莫比烏斯環的三等分處畫一條線，然後用剪刀沿著這條線剪開這個莫比烏斯環，將會得到什麼呢？
實驗結果：如果沿著莫比烏斯環三等分處剪開，剪刀繞兩個圈竟又回到原出發點，這時會形成兩條帶子，其中一條和原來的周長一樣長，另一條則比原來的莫比烏斯環周長大一倍，而且兩條是套在一起的。
（三）若是在莫比烏斯環的四等分處畫一條線，然後用剪刀沿著這條線剪開這個莫比烏斯環，將會得到什麼呢？
實驗結果：如果沿著莫比烏斯環四等分處剪開，這時會形成兩條比原來的莫比烏斯環周長都大一倍帶子，而且兩條是套在一起的。
（四）若是在莫比烏斯環的五等分處畫一條線，然後用剪刀沿著這條線剪開這個莫比烏斯環，將會得到什麼呢呢？
實驗結果：如果沿著莫比烏斯環五等分處剪開，這時會形成三條帶子，兩條比原來的莫比烏斯環周長都大一倍帶子，另一條則和原來的周長一樣長，而且三條是套在一起的。
由此規律，你能得出什麼結論呢？
下面繼續見證奇蹟。
（五）若是在（一）的結果基礎上，對剪出來的環再沿著中間用剪刀剪開，又將得到什麼結果呢？
（六）將兩張疊在一起的長方形紙帶製成一條莫比烏斯環。
（1）將兩張疊在一起的長方形紙帶同時扭轉半圈，把相應的端頭粘合在一起；
（2）把食指放在兩層帶之間移動；
（3）把雙層帶拉開成單層帶，比較雙、單層帶的長度與扭轉半圈數；
（4）將單層帶恢復為雙層帶，同時沿它的中間線剪開。
通過以上這些步驟，分別又會發現什麼呢？
好吧！你們可以自己玩玩！
相信一定能感受到這個“怪圈”神奇了。
生活、藝術中的莫比烏斯環
莫比烏斯環乍看起來似乎不過是數學中意外發現的一個新奇的玩具而已。其實，這個“怪圈”遠非數學中的一個拓撲遊戲。莫比烏斯1858年發現了它，可有關論文在巴黎研究院的卷宗裡埋藏了7年之久．1865年發表出來後以奇妙的單側單面性吸引無數學者步入拓撲的殿堂，從而促進了拓撲學的形成和發展。它更因其所具有的特性和內在的意義，被大量的運用於生活和藝術設計中。
1.莫比烏斯環傳動帶
普通傳動帶有兩個面，只用到一面，而以莫比烏斯環做傳動帶，因它只有一面, 損耗就較平均，從而可延長使用壽命，提高了利用效率。
莫比烏斯環做傳動帶
1979年，美國著名輪胎公司百路馳創造性地把傳送帶製成莫比烏斯圈形狀，這樣一來，整條傳送帶環面各處均勻地承受磨損，避免了普通傳送帶單面受損的情況，使得其壽命延長了整整一倍。
另外，針式打印機中的色帶，為充分利用其表面，常被設計成莫比烏斯環。再如，音樂磁帶中莫比烏斯圈的運用，可以加大磁帶的信息承載量。
2.莫比烏斯圈過山車
在美國匹茲堡著名肯尼森林遊樂園裡，就有一部“加強版”的雲霄飛車——它的軌道被設計成一個莫比烏斯圈。乘客在軌道的兩面上飛馳。相信，定然很刺激。
莫比烏斯圈過山車
3.各種莫比烏斯環標誌
莫比烏斯圈循環往復的幾何特徵，蘊含著永恆、無限的意義，因此常被用於各類標誌設計。
微處理器廠商Power Architecture的商標就是一條莫比烏斯圈，Power Architecture技術是一個主流平臺，被廣泛應用於包括汽車控制、遠程通訊、無線和有線基礎架構、企業網絡、服務器和數字家庭。
國際通用的循環再造標誌就是一個綠色的、擺放成三角形的莫比烏斯帶，如垃圾回收標誌。
4.埃舍爾的《莫比烏斯帶》系列作品
在所有莫比烏斯環的藝術作品中，荷蘭的圖形藝術家M.C.埃舍爾（M. C. Escher，1898～1972）的《莫比烏斯帶》系列最能表現莫比烏斯環的生動形象，同時也是最具震撼力的作品了。
作為荷蘭科學思維版畫大師的M.C.埃舍爾是20世紀畫壇中獨樹一幟的藝術家。讓埃舍爾備受拓撲學家關注的原因則是他對於莫比烏斯環的藝術上的理解。當然，埃舍爾並不是一開始就想到莫比烏斯環的。他曾表示：“1960年，一位英國數學家（我已經記不起他的名字了）勸我作一幅莫比烏斯環的版畫。而那時我對這個東西還幾乎一無所知。”然而，莫比烏斯環似乎一直在等待真正賞識它的人出現，一旦埃舍爾發現了它，它立即就成了埃舍爾的主題。他曾多次繪製這個有趣的莫比烏斯環：
《莫比烏斯I》（Mobius I, 1963）
《騎士》（Horseman，木刻，1946）
《纏著魔帶的立方體》（Cube with Magic Ribbons，1957）
《莫比烏斯帶》
“埃舍爾不僅畫各種莫比烏斯環，卻並不拘泥於典型的莫比烏斯環。他將其與自己擅長的鑲嵌畫融合，探索各種可能，達到了形形色色的奇妙效果。”
如，《莫比烏斯II》（Mobius II, 1963）中生動形象地展示了莫比烏斯環的拓撲學性質。一隻紅螞蟻無限地爬下去，不斷地在裡側外側徘徊，形象地展示了莫比烏斯環的一個面的特性。如此便將理解晦澀的理論所需的空間想象能力降低，使之更易被人所理解。
《莫比烏斯II》
5.莫比烏斯環觸發的各種設計創意
上海世博會的湖南館“桃花源裡·湘都(xiangdu)”，主體建築外觀採用了雙莫比烏斯環扣造型，外表用紙裝飾，遠觀如一尊巨大的動態雕塑藝術品。整個“魔比思環”就像展開的卷軸，環體上的影像組成循環流動的綵帶，時而全景演播，時而滾動變化，時而回歸為純淨的留白，給人以更多靜思與遐想的空間。
上海世博會的湖南館
還有坐落在哈薩克斯坦共和國首都阿斯塔納的哈薩克斯坦國家圖書館集現代特色和傳統經典於一身，整個建築呈向內“循環”的螺旋流線造型，簡約而雅緻。BIG建築師事務所資金合夥人BjarkeIngels解釋道：“國家圖書館的設計是將穿越空間與時間的四個世界性經典造型——圓形、環形、拱形和圓頂形——以莫比烏斯環的形式融合在了一起。它擁有環形的清晰明瞭，擁有圓形大廳的庭院設計、擁有拱形的走廊通道，以及蒙古圓頂帳篷般的柔和輪廓，四種建築原型的結合創造了一個新的兼具地方性和國際性特色，既現代又永恆經典，既獨特又具有建築歸屬感的全新國家標誌性建築。”
哈薩克斯坦國家圖書館
這種建築設計，可以在同樣平面面積中通過不同角度的“空間扭曲”而讓原有的空間在不同方向得以“延伸”，從而獲得更多的可用空間。“它讓牆壁在不同的角度變化，時而是牆，時而是屋頂，時而成了地板，最後又變成了牆。” 國家圖書館項目負責人托馬斯～克里斯托弗森如是說。
又如，這是中國科技館的展品之一，叫“三葉扭結”。它是由“莫比烏斯環”演變而成的，是由一條三稜柱帶經過三次盤繞，將其中的一端旋轉120ﾟ後首尾相接，構成三面連通的單側單邊的三葉扭結造型。三葉扭結雖是立體圖形，但只有一個面，即單側面。這藍白相間的燈不停地閃爍，乍看是個漂亮的燈飾，但細瞧，它也只有一面和一邊，正喻示著科學沒有國界，各種科學之間沒有邊界，科學是相互連通的，科學和藝術也是相互連通的！
科技館的“三葉扭結”
一年一度的英國古德伍德速度節上，為蓮花汽車公司設計的雕塑，以類似莫比烏斯環的無限延伸空間向人們展示了汽車競速的無限樂趣，無論是形體還是構思都讓人無比震撼。
震撼眼球的蓮花汽車雕塑
另外，可知道“鳥巢”的女朋友“鳳巢”嗎？就是鳳凰衛視北京總部。
鳳凰衛視北京總部
建築造型取意於“莫比烏斯帶”，並藉助莫比烏斯帶的圖解，將高層辦公區和媒體演播室融合起來，在滿足全方位提供節目製作場地及其他配套服務設施的同時，形成了一個完整的空間和體量。
6.郵票上的莫比烏斯環
瑞典1982年發行了“不可能的圖形”系列郵票，其中有一枚郵票，這是一個立體化的“莫比烏斯圈”。只是，這種莫比烏斯環在現實中是不可能存在的，意在引導人們關注科學，探索宇宙不解之謎。
“不可能的圖形”郵票
7.史上最浪漫的結婚戒指
這枚莫比烏斯環婚戒標寫著：“我會一直在你身邊！”真是寓意深遠！
莫比烏斯環婚戒
8.影視、文學作品中的莫比烏斯環
以《愛麗絲漫遊奇境》享譽文壇的路易斯•卡洛爾，恐怕是世界上最有數學情懷的童話作家。在他的故事中，少不了妙趣橫生的數學謎題。其中“手絹中的宇宙”就是如此一個奧妙無窮的莫比烏斯環：怎樣用兩張方手絹，縫成一個沒有裡面與外面之分的“口袋”？——這個口袋由於兩面相通，所以能夠“裝下全宇宙”。
由A.J.Deutsch創作的短篇小說《一個叫莫比烏斯的地鐵站》為波士頓地鐵站創造了一個新的行駛線路，整個線路按照莫比烏斯方式扭曲，走入這個線路的火車都消失不見。
《哆啦A夢》（趕走討厭的客人）一集中，哆啦A夢有個道具的外觀就是莫比烏斯帶，在故事中，只要將這個環套在門把上，則外面的人進來之後，看到的仍然是外面。
哆啦A夢的莫比烏斯帶
還有，2015年上映的一部電影《前目的地》，整部電影的情節簡直就是一個莫比烏斯環。整個故事你不知道哪裡是起點，也不知道是從哪裡結束。
一個死循環的故事環
很燒腦的科幻電影，自己去琢磨吧！
9.密碼——青銅
西班牙現代雕塑大師蘇比拉克作品的“密碼”這件作品由三部分組成：作品上部分的數字方格是“蘇比拉克幻方”，方框內的16個數字橫、豎、斜或分組相加均為33。33是耶穌死亡的年齡，也是耶穌復活的年齡！作品中間部分的“環帶”就是“莫比烏斯帶”，象徵無限遠的意義。同時，又有魔幻和神秘之意義。作品下部分的織物皺褶則象徵古希臘文明的藝術特點。
密碼
整個作品將組合數學與拓撲學等科學主題與雕塑藝術融合在一起，算是用藝術表現科學的傑出典範。
最後，我們以這樣一個故事結束吧！
一位農夫請了工程師、物理學家、邏輯學家和拓撲學家來解決一個問題，想用最少的籬笆圍出最大的面積。工程師用籬笆圍出一個圓，宣稱這是最優設計。物理學家將籬笆拉開成一條長長的直線，假設籬笆有無限長，認為圍起半個地球總夠大了。邏輯學家用很少的籬笆把自己圍起來，自豪地說：“我現在是在外面。”最後，拓撲學家來了，用籬笆圍出一個莫比烏斯環，說：“我的這邊就是。”於是，他圍住了整個平面。
來源 | 數學與藝術MaA
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