最全《平行四边形、矩形菱形、正方形》计算类典型题汇总
一、平行四边形中，边(周长)的计算
例1：在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC＝10，BD＝8，则AD的取值范围是_________．
解析：利用平行四边形的性质，对角线互相平分，得AO＝5，DO＝4．借助三角形三边关系，AO－DO＜AD＜AO＋DO，则1＜AD＜9
变式：
1.已知平行四边形ABCD的周长是12，AC，BD交于点O，△ABO的周长比△BOC的周长大1，求AB，BC的长．
解析：对照上图，我们知道AO＝CO，BO为公共边，则△ABO的周长与△BOC的周长之差就是AB与BC之差，设AB＝x，BC＝x－1，根据周长＝12，可得2(x＋x－1)＝12，x＝3.5，AB＝3.5，BC＝2.5
例2：如图，平行四边形ABCD的周长为16，AC，BD相交于点O，OE⊥AC于O，则△BCE的周长为_________．
解析：由OE⊥BD，BO＝DO，可知OE垂直平分BD，则BE＝DE，C△BCE＝BC＋CE＋BE＝ BC＋CE＋DE＝BC＋CD＝8
变式：如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，分别交AD于E，交BC于点F，若OE＝5，四边形CDEF的周长为25，则平行四边形ABCD的周长为________．
解析：首先，可证△AEO≌△CFO，则OE＝OF．
(事实上，经过平行四边形对称中心的线段，既平分平行四边形的周长，也平分面积．)
EF＝2OE＝10，AE＝CF，C四边形CDEF＝CD＋DE＋CF＋EF＝CD＋DE＋AE＋EF＝CD＋DA＋EF＝25
CD＋DA＝15，C平行四边形ABCD＝30
例3：在平行四边形ABCD中，AD＝11，∠A、∠D的角平分线分别交BC于E、F，EF＝3，则AB＝__________．
解析：
本题是典型的易错题，极易漏解，我们应该想到，AE，DF必然相交，且夹角为90°，但交点可以在平行四边形内，也可在形外．故而要分类讨论．
同时，这里面隐藏着一个常见的基本模型，平行＋角平分，构造等腰，△ABE和△FCD是等腰三角形，且腰相同，AB＝BE＝DC＝CF．
如图，当AE，DF交于形内，BE＋CF－EF＝11，2BE－3＝11，BE＝7，AB＝7
如图，当AE，DF交于形外，BE＋CF＋EF＝11，2BE＋3＝11，BE＝4，AB＝4
综上，AB＝7或4
变式：
1.平行四边形ABCD的周长为32， ∠ABC的角平分线交边AD所在直线于点E，且AE：ED＝3：2，则AB＝______．
解析：看到"所在直线" 这样的字眼，第一时间应该想到两解了吧．
如图，AD＜AB，则E在AD延长线上，AE＝AB，
∵AE：ED＝3：2，
∴AE：AD＝3：1，AB：AD＝3：1，
设AD＝x，AB＝3x，3x＋x＝16，
x＝4，AB＝3x＝12．
如图，AD＞AB，则E在AD上，AE＝AB，
∵AE：ED＝3：2，
∴AE：AD＝3：5，AB：AD＝3：5，
设AB＝3x，AD＝5x，3x＋5x＝16，
x＝2，AB＝3x＝6．
综上，AB＝6或12.
二、平行四边形面积类问题
例1：平行四边形ABCD中， DE⊥AB，DF⊥BC，若DE＝2，DF＝3，四边形ABCD的周长是30，求其面积．
解析：本题其实早在小学阶段，可能就有同学做过，知道平行四边形周长，则知道了邻边之和为其一半，有了2条高，自然想到面积，用等积法解决．
如图，设AB＝x，BC＝15－x，
2x＝3(15－x)，x＝9，S＝2x＝18
例2：如图，M、N是平行四边形ABCD的边AB、AD的中点， 连接MN、MC，若阴影四边形的面积为10，则图中空白部分的面积是____________．
解析：面对一般四边形的面积问题，我们通常转化为熟悉的平行四边形求面积，或者将四边形分割成2个小三角形，分别求面积，再求和．
本题显然不能转化，尝试分割，若连接NC，则△NMC的面积不好求，所以连接MD．
例3：
解析：初次拿到这样的题目，很难下手，没有具体的底边和高长，我们求不出各图形的面积，但既然平行四边形对边平行，我们不妨过点P再作一次平行．
如图，过点P作EF∥AD，则EF∥BC，四边形AEFD，四边形EBCF均为平行四边形．
本题重要结论：S1＋S3＝S2＋S4
三、矩形正方形线段和的计算、菱形中面积，最值类问题
例1：在矩形ABCD中，AB＝3， BC＝4，对角线AC，BD交于点O，点P是BC边上的一点，PE⊥BO，PF⊥CO，求PE＋PF＝_________．
解析：拿到题目，有些同学立刻反应，说是"将军饮马"问题，但这里是求值，是定值，而将军饮马属于求最值问题．PE，PF分别是高，则想到面积，这才应该是第一反应．
如图，连接OP
变式：
1.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，对角线长为10，P是BC边上的一点， PE⊥BO，PF⊥CO，求PE＋PF＝_________．
解析：
本题同样也能用上题思路，
PE＋PF＝BO＝5，
也能证明四边形EPFO是矩形，
PF＝EO，∠EBP＝∠EPB＝45°，
则BE＝PE，
PE＋PF＝BE＋EO＝BO＝5
例2：已知菱形ABCD的周长为20，面积为20，求对角线AC，BD的长．
解析：由周长为20，我们可以知道，边长是5，由面积是20，我们可以知道对角线乘积的一半是20，因此，不妨设AC＝2x，BD＝2y，x＞y，
例3：如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM＋PN的最小值是________．
解析：这才是标准的将军饮马问题，作点M关于AC的对称点M'，则PM＋PN＝P M'＋PN≥M'N(当M'，P，N三点共线时可取等号)，则最小值即为M'N＝5
变式：
1.如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P、N是AC，BC上的一个动点，点M是边AB的中点，则PM＋PN的最小值是________．
解析：变成了一定(点M)一动问题(点N)，方法与之前一致，确定AD边上的点M'，则当M'N⊥BC时，M'N最短，过点M'作M'Q⊥BC，利用面积法，S菱形ABCD＝24，BC＝5，M'Q＝4.8，PM＋PN的最小值是4.8
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