3秒內學霸心算出Z=(3-i)/(1+2i)的模，訣竅在哪？

0. 問題提出

在近期用2019年高考數學全國I捲進行的測評中，偶然發現有同學在求Z=(3-i)/(1+2i)的模時，草稿紙留下一串的複數運算過程。這說明還有同學未熟練掌握‘因式相乘與相除型複數的模’的妙解通法。試問：

1. 因式相乘與相除型複數的模的通法

1） 若有因式相乘型的複數Z = (a+bi)(c+di)，求|Z|?

一般地，先整理、化簡：

Z = (a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (bc+ad)i，

所以

= |a+bi||c+di|。

結論1：兩個因式相乘型複數的模，等於兩個因式的模之積。

推論1：不難推出，結論1可推廣到連乘的因式超過兩個的情形：

2) 若有因式相乘型的複數Z = (a+bi)/(c+di)，求|Z|?

一般地，先整理、化簡：

結論2：兩個因式相除型複數的模，等於分子的模除以分母的模。

推論2：由上述推論1不難推出，結論2可推廣到分子與分母多於1個因式的情形：

2. 典型示例（高考真題）

例1(2019年高考數學文科全國I卷) 設z= (3-i)/(1+2i)，則|Z|=___。

解：依題意，

（提示：一般地，高中生均可心算得出結果）

例2（2017江蘇）已知複數z=(1+i)(1+2i)，其中i是虛數單位，則z的模=___。

解：依題意，

（提示：一般地，高中生均可心算得出結果）

例3（2017新課標Ⅲ理數）設複數z滿足(1+i)z=2i，則|z|=____。

解：依題意，

（提示：一般地，高中生均可心算得出結果）

全文小結：

① 本文推導了求解‘

因式相乘與相除型複數’的模的兩個推論——即推論1和推論2。當遇到求解因式相乘與相除型複數的模時，利用這兩個推論，既能解得快又不易出錯——避開了難免犯錯的四則運算過程。

② 大家知道，一個學習態度端正、基礎紮實的同學，要進一步提升，綜合能力是關鍵。而本文通過論述求特定型態複數的模的通法，啟發同學們在學習過程中，要多思考、求甚解——這是快速地提高學習能力和成績的好的、有效的方法與習慣。

③ 本號及其文章一貫倡導和啟發大家勤于思考、樂於動手、善於總結，輕快學習，成為高分高能真學霸。若您覺得本號文章有幫助，可關注本號“輕快學習課堂”，以便捷地查找、閱讀以前發表的相關文章以及新發表的文章。