在用微積分的方法，求一個曲線四邊形的面積時，我們會將它進行了無限分割。每一個無限小的分割單元，我們把它看作是一個無限近似的矩形。進而，求得一個矩形的面積：
f'(x)Δx。f'(x)會對應一個原函數y=f(x)，那麼，f'(x)Δx就是原函數y=f(x)的微分。我們以函數曲線y=x^2+1為例，在區間x∈[0，2]上，圍合成一個曲線四邊形，如下圖：
圖一
在x 處，我們求得微分(x^2+1)*Δx。然後，進行積分，就求得：
S= ∫(x^2+1)*dx，x∈[0，2]=1/3*2^3+2=14/3。
我們回頭再仔細看一遍圖一。有眼力好的，一定看到了那塊藍色的細小圖形。在計算微分時，它是被忽略掉的。
那麼問題來了，它是更像三角形，還是長方形？
圖形太小，我們放大了來看，如下圖：
圖二
我要說它是個長方形，你信嗎？
好吧，我們換個簡單好計算的圖形，來分析一下。
如上圖，同樣的區間x∈[0，2]上，函數曲線
y=x圍合成一個等邊直角三角形。我們先用微積分的方法，在宏觀維度強行推演一下計算過程。
我們把x∈[0，2]分成10等分，那麼一共有10個Δx，每個Δx=0.2。
在微積分的方法下，綠色小三角是要被忽略掉的面積，而藍色的長方形是另外增加的面積。因為在x=2的後面還有一個增量Δx，所以要被積分的微分x*Δx，其實有11個。
我們分別計算一下，綠色小三角形面積之和s1與藍色長形的面積s2：
s1=1/2*Δx*Δx*10=5Δx^2=0.2;
s2=2*Δx=0.4; 結果s2=2s1。
微積分的方法告訴我們，只要往無限小的維度推進，綠色小三角形面積之和一定要等於藍色長方形的面積。
而現在，兩者的面積比例恰好是1:2。如果，我們把綠色小三角形把當正方形算，那s1是不是就可以等於s2？
回到圖一，我們作一次嚴格點的計算。
再次強度一下，雖然區間x∈[0，2]被分割成了N等分，但總體被積的微分單元是N+1個，如下圖：
第n+1個微分單元（紫色）的面積：a=(x^2+1)*Δx=(2^2+1)*Δx=5Δx。
被忽略掉的圖形（藍色），我們暫時按三角形看待，它的面積通式：Δb=1/2{[(x+Δx)^2+1]-(x^2+1)}*Δx。
我們從起點x=0開始算，第1個三角形面積：
Δb1=1/2{[(x+Δx)^2+1]-(x^2+1)}*Δx=1/2{[(Δx)^2+1]-1}*Δx。
保留通項形式完整，我們不作進一步計算。因為X軸上的微分增量是Δx，我們得到從第2個到第n三角形的面積如下：
Δb2=1/2{[(2Δx)^2+1]-[(Δx)^2+1]}*Δx；
Δb3=1/2{[(3Δx)^2+1]-[(2Δx)^2+1]}*Δx；
......
Δb(n-1)=1/2{[((n-1)Δx)^2+1]-[((n-2)Δx)^2+1]}*Δx；
Δbn=1/2{[(n*Δx)^2+1]-[((n-1)Δx)^2+1]}*Δx。
我們可以看出來，前一式子裡的被減數就是後一式子裡的減數，求和時相加為零，都會被消掉，所以有：
b=∑Δb=Δb1+Δb2+...+Δb(n-1)+Δbn=1/2{[(n*Δx)^2+1]-1]}*Δx=1/2*5Δx。（n*Δx=2）
結果：a=2b。第N+1微分單元的面積，還是這些小三角形面積之和的兩倍。
我們換算一下式子，得a-b=5/2*Δx。這個5/2*Δx，能不能叫做“用微積分方法求面積所造成的誤差”？
顯然不是！
要知道，
5/2*Δx依然是一個無窮小的量。小到不能再小哦！什麼樣的計算，才會造成這麼小的、完全可以忽略不計的誤差？
到此，我們有理由相信，對於求那些被忽略掉的微小圖形的面積，我們仍然用傳統的方法作計算是錯誤的，這很不”微積分“！。
在無究小的微觀世界裡，遵從著與宏觀世界不一樣的法則。宏觀上看到的”小三角形'，在微觀上看就矩形。
所以，b應該等於5Δx！於是，a=b，完美！
也或者，在微觀視角下，它們都不能被叫做”圖形“，微分x*dx也不是在表達乘積關係，而只是描述兩個微觀向量。
用微分描述完整的微觀向量，再用積分轉換成宏觀計算式，所得的結果是精準的，並不是近似計算。
在學習微積分時，一定要拋棄傳統的觀念。因為，在等號的兩端，存在著不一樣的維度空間。
不同於滿布崎嶇的宏觀世界，在微觀的盡頭真的沒有彎曲！
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