初中數學：用“截長補短法”作輔助線解幾何題

在初中數學的幾何證明題中，有這麼一類題目，證明一條較長的線段，等於兩條較短的線段之和，即證明“長=短1+短2”的模型。這類題目通常可以考慮使用“截長補短法”作輔助線解題。所謂截長，是指在長線段中截取一段等於短1，再證明另一段等於短2；所謂補短，是指將短1線段延長短2，再證明短1線段+短2線段=長線段。此類題目經常使用圖形的對稱性，藉助角平分線等知識，配合外角，構造全等三角形來解題。

且看一題：如圖，已知在△ABC中，∠C=2∠B，AD平分∠BAC交BC於點D。求證：AB=AC+CD。如圖：

讀完本題，一看就是證明“長=短1+短2”的模型，我們可以考慮使用“截長補短法”。先看截長法，我們在長線段AB上取一點E，那麼AB=AE+EB。如果AE,EB兩條短線段分別和AC,CD相等，那麼本題就好辦了。結合題中條件：∠C=2∠B，AD平分∠BAC，我們可以截取AE=AC。易得△ACD≌△AED(SAS),可得CD=DE，∠C=∠AED，這時候只要證DE=EB即可。顯然由於∠C=2∠B，藉助外角可證△EDB是等腰三角形，至此一切問題都搞定。如圖：

理論上，能截長做的題目，那麼補短法應該也可以。而AC,CD是兩個短線段，該補哪一個好呢？結合條件：∠C=2∠B，AD平分∠BAC，我們可以補短AC，將AC延伸到AE,使CE=CD,那麼AC+CD=AE,至此只需要證明AE=AB即可。具體證明過程也要藉助三角形全等+外角+等腰三角形來配合解題，解題過程和上述截長法有異曲同工之處。如圖：

本題用“截長補短法”作輔助線完美解題，條件使用巧妙而自然，值得回味。“截長”與“補短”相得益彰，精彩紛呈，值得學習。

在解幾何題的時候，很多學生常常難以發現解題思路，對於常用輔助線的添加更是困惑。其實輔助線就是為了“還原”“基本模型”把陌生的問題轉化為“曾經熟悉的樣子”。就“截長補短法”而言，本身也帶有點哲學的意味：既然證明“長=短1+短2”，那麼就要把“一長”截成“兩短”；或者把“兩短”等量代換“合成”為“一長”。

同學們在解題的時候，要樸素地想想怎麼辦，從宏觀上大膽“感知”思路，微觀上使用條件“小心”求證，我想這也是數學解題的應有之義。