在市場上，我們經常看到這樣的瓶子，它的名字叫克萊因瓶。
但其實這並非是真正的克萊因瓶，在我們生活的世界裡永遠也不可能存在真正的克萊因瓶，因為克萊因瓶在現實生活中永遠也不可能被造出來。
什麼是克萊因瓶
在數學領域中，克萊因瓶是指一種無定向性的平面，比如二維平面，就沒有“內部”和“外部”之分。在拓撲學中，克萊因瓶是一個不可定向的拓撲空間。它最早是著名數學家菲立克斯·克萊因提出來的，但是克萊因的本意是， “Kleinsche Fläche”，也就是克萊因平面，沒有內部外部之分，但是後來傳成了克萊因瓶。
克萊因瓶的結構可表述為：一個瓶子底部有一個洞，現在延長瓶子的頸部，並且扭曲地進入瓶子內部，然後和底部的洞相連接。和我們平時用來喝水的杯子不一樣，這個物體沒有“邊”，它的表面不會終結。它和球面不同 ，一隻蒼蠅可以從瓶子的內部直接飛到外部而不用穿過表面，即它沒有內外之分。正是因為如此，克萊因瓶是永遠裝不滿水的。
克萊因瓶在現實生活中是無法實現的，現在我們所看到的克萊因瓶其實都是假貨，你會發現我們看見的克萊因瓶必然跟自身相交，用數學的語言說，這樣得到的克萊因瓶在三維中的實現是克萊因瓶在三維空間中的浸入（immersion）。
但事實上真正的克萊因瓶，它的瓶頸是通過第四維和瓶底相接的，並不需要穿過自身，並不會和自身相交。我們可以看到它的定義“無定向性的平面”，這種瓶子根本沒有內、外之分，無論從什麼地方穿透曲面，到達之處依然在瓶的外面，它本質上就是一個“有外無內”的古怪東西。
這是一個三維概念物，所以它只能存在於四維空間，是不可能嵌入三維空間中的，如果我們一定要將它展現在三維空間的話，它的瓶頸只能穿過自身，這是三維空間無法順利表達它的妥協之舉，但這就違反了克萊因瓶的定義，所以市場上的克萊因瓶都是假的。
真正的克萊因瓶因為是通過第四維和瓶底相接，所以它永遠也不可能被裝滿，即使你將大海放進去，也是一樣。
如果把克萊因瓶沿著它的對稱線切下去，竟會得到兩個莫比烏斯環，公元1858年，德國數學家莫比烏斯（Mobius，1790～1868）和約翰·李斯丁發現，把一根紙條扭轉180°後，兩頭再粘接起來做成的紙帶圈，具有魔術般的性質，這就是莫比烏斯環。
在我們三維的世界裡，一張紙有兩面，但是對於二維世界的生物來來說，它就平面裡，沒有兩個面。
在我們眼中，螞蟻會爬過連成一體的兩個面，才能回到原點。這時候螞蟻不用翻越紙的邊緣，它可以爬行的距離增加了一倍。
但是對於一隻生活在平面內部的二維螞蟻，它的空間並沒有增加，只是被扭曲，然後連接起來了。
所以，這隻二維螞蟻只需要爬行一週，就可以回到原處，這隻螞蟻同樣不理解為什麼三維世界的螞蟻爬行的距離增加了一倍。
如果莫比烏斯帶能夠完美的展現一個“二維空間中一維可無限擴展之空間模型”的話，克萊因瓶只能作為展現一個“三維空間中二維可無限擴展之空間模型”的參考。
所以，這對於二維空間的“生物”來說他們不能理解空間被扭曲這一事實，當然對於我們三維空間中的人類來說，我們同樣不能理解我們的空間正在通過額外的維度對接到自身的內部。
什麼是四維空間
四維空間和四維時空並不是一個概念，四維空間我們一般是指標準歐幾里得空間；四維時空指的是閔可夫斯基空間概念的一種誤解。人類作為三維物體可以理解四維時空（三個空間維度和一個時間維度）但無法認識以及存在於四維空間，因為人類屬於第三個空間維度生物。
零維是點，沒有長度、寬度及高度。一維是由無數的點組成的一條線，只有長度，沒有其中的寬度、高度。二維是由無數的線組成的面，有長度、寬度沒有高度。三維是由無數的面組成的體，有長度、寬度、高度。
因為人的眼睛只能看到二維，二維生物看對方只有一條線。人的雙眼看到的是兩個二維投影，經過大腦處理形成一個整體的視覺。也就是說人類只能看見二維圖像，卻能理解這個世界是三維的。
因為構成三維的三元素是長寬高，即三個互相垂直的直線，我們單眼看世界的時候，上下是高，左右是寬，所以看到的世界是二維的。
有人會說人有兩隻眼睛可以判斷遠近，這是不是構成三維視覺？不是的，兩個視網膜看到的是兩個二維平面，加起來只是一個更大的二維平面，而大腦通過兩個圖像的細微差別腦補出了遠近信息。
我們眼睛去看這個世界，產生的畫面遠近是不同的，通常是右遠左近，但不絕對，而正是這個距離感的產生，彌補了三維需要的長，所以我們才能理解這個世界是三維的。
克萊因瓶的意義
所謂的“克萊因瓶”卻始終是大數學家克萊因先生腦子裡頭的“虛構物”，根本製造不出來。許多國家的數學家老是想造它一個出來，作為獻給國際數學家大會的禮物。然而，等待他們的是一個失敗接著一個失敗。
在拓撲學中，克萊因瓶定義為正方形區域 [0,1]×[0,1] 模掉等價關係(0,y)~(1,y), 0≤y≤1 和 (x,0)~(1-x,1), 0≤x≤1。類似於 Mobius Band, 克萊因瓶不可定向。但 Mobius 帶可嵌入 R^ 3，而克萊因瓶只能嵌入四維（或更高維）空間，從數學意義上解釋了為什麼在現實中無法造出克萊因瓶。
克萊因瓶促進了拓撲學的發展，甚至對物理也產生了一定的影響，比如時空克萊因瓶上的熱力學，對於人類探索更高維度空間起到了重要的意義。
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