二次函數經典題解析一

1、頂點為P的拋物線y= x^2﹣2x+3與y軸相交於點A，在頂點不變的情況下，把該拋物線繞頂點P旋轉180°得到一個新的拋物線，且新的拋物線與y軸相交於點B，則△PAB的面積為（ ）

A.1 B.2 C.3 D.6

解析：本題重點在於找出點P,A,B的座標，然後計算面積，

解法一：本題可用頂點座標公式計算（-b/2a，（4ac-b^2）/4a），求出P點座標，把x=0代入函數可以得到A點座標，旋轉180度，即為B點座標與A點座標關於y=（4ac-b^2）/4a對稱。

解法二：將函數變為y=（x-1）^2+2,可得P(1，2),A點座標（0,3），旋轉180°，g= -（x-1）^2+2，求出x=0時，B點座標，

解法三：推薦解法，其它兩種解法有些抽象，畫圖作答，本題作圖先畫出原圖圖像，在根據旋轉180圖像作出旋轉後圖像，作圖如下：

根據三角形面積公式就可求得△PAB的面積為1.本題答案為A。

總結：本題三種解法都需要畫圖，解法二比解法一計算要簡便，確定頂點只需要取y值最小時的座標即可，解法三比解法二少求了旋轉後的函數解析式和計算出y軸交點，最好三種解法都精通，如果實在做不到，就選取一種適合自己的解法去做此類型題。

三種解法原因：題與題是不同的，有些題我們只需要計算就可以知道問題的答案了，畫圖反而麻煩，我們要活學活用。平常練習多種方法解題，考試的時候才能遊刃有餘。

2、已知經過原點的拋物線y=-2x^2+4x，與x軸的另一交點為A現將它向右平移m（m＞0）位，所得拋物線與x軸交於C、D點，與原拋物線交於點P

（1）求點P的座標（可用含m式子表示）

（2）設△PCD的面積為s，求s關於m關係式．

（3）過點P作x軸的平行線交原拋物線於點E，交平移後的拋物線於點F．請問是否存在m，使以點E、O、A、F為頂點的四邊形為平行四邊形．若存在，求出m的值，若不存在，請說明理由．

解析：本題肯定要作圖如下：

（1）解法一：原拋物線：y=-2x^2+4x=-2（x-1）^2+2，

則平移後的拋物線為：y=-2（x-1-m）^2+2，

一元二次方程組解得點P的座標為（1+m/2，2-m^2/2 ）；

解法二：原函數頂點座標為（1,2）向右平移m單位，所以P點x軸座標為1+m/2，代入原函數解得P點座標為（1+m/2，2-m^2/2 ）；

注意：不是所有的問題都必須計算出結果，只需要找出P點x座標代入原函數就能知道P點座標了。

（2）注意m的取值與P點的變化，求出拋物線與x軸的交點座標，根據當0＜m＜2，當m=2，即點P在x軸時，當m＞2即點P在第四象限時，分別得出即可；

當0

當m=2時，P點在x軸上，不存在△PCD

當m>2時如圖：

當m>2時，△PCD的面積S=1/2×CD×Py=1/2×OA×│Py│=m^2/2-2

注意：m的取值問題，和P點Y座標的正負。面積不能為負。

（3）自己畫圖，要成為平行四邊形，我們只需要找到一點，使EF=OA=2，PE=1就可以了，線段EF的長度隨著m的增大而變大，

解：假設存在m使E、O、A、F為頂點的四邊形為平行四邊形．則P點座標為（1+m/2，2-m^2/2 ），E點座標為（m/2，2-m^2/2 ）

將E點座標代入原函數得：-2×（m/2）^2+4×（m/2）=2-m^2/2

解得m=1，所以當m=1時，存在m使E、O、A、F為頂點的四邊形為平行四邊形．

3、一個拋物線形的橋洞，洞離水面的最大高度BM為3米，跨度OA為6米，以OA所在直線為x軸，o為原點建立平面直角座標系。求：一艘小船平放著一些長3米，寬2米且厚度均勻的矩形木板，要使該小船能通過橋洞，問這些木板最高可堆放多少米？（設船身底板與水面在同一平面）

解析：

注意：（1）平放是關鍵，如果沒有這兩個字，答案就變了，

（2）想放的高，所以選寬2米，

解：設拋物線為y=ax^2+bx+c

圖象過點(0,0) (6,0),和(3,3)代入

c=0

0=36a+6b

3=9a+3b

算得 a=-1/3, b=2，c=0

拋物線為：y=-x^2/3+2x

寬度2就可以通過（長為3不用）

則剛好通過時與拋物線交點為C(2,h),D(4,h)，將C點座標代入拋物線函數，解得：h=8/3

本題不畫圖也可以，解題時說的已經很明白了，如果還是不懂可自行畫圖，再對照解析。