二次函数经典题解析一

1、顶点为P的抛物线y= x^2﹣2x+3与y轴相交于点A，在顶点不变的情况下，把该抛物线绕顶点P旋转180°得到一个新的抛物线，且新的抛物线与y轴相交于点B，则△PAB的面积为（ ）

A.1 B.2 C.3 D.6

解析：本题重点在于找出点P,A,B的坐标，然后计算面积，

解法一：本题可用顶点坐标公式计算（-b/2a，（4ac-b^2）/4a），求出P点坐标，把x=0代入函数可以得到A点坐标，旋转180度，即为B点坐标与A点坐标关于y=（4ac-b^2）/4a对称。

解法二：将函数变为y=（x-1）^2+2,可得P(1，2),A点坐标（0,3），旋转180°，g= -（x-1）^2+2，求出x=0时，B点坐标，

解法三：推荐解法，其它两种解法有些抽象，画图作答，本题作图先画出原图图像，在根据旋转180图像作出旋转后图像，作图如下：

根据三角形面积公式就可求得△PAB的面积为1.本题答案为A。

总结：本题三种解法都需要画图，解法二比解法一计算要简便，确定顶点只需要取y值最小时的坐标即可，解法三比解法二少求了旋转后的函数解析式和计算出y轴交点，最好三种解法都精通，如果实在做不到，就选取一种适合自己的解法去做此类型题。

三种解法原因：题与题是不同的，有些题我们只需要计算就可以知道问题的答案了，画图反而麻烦，我们要活学活用。平常练习多种方法解题，考试的时候才能游刃有余。

2、已知经过原点的抛物线y=-2x^2+4x，与x轴的另一交点为A现将它向右平移m（m＞0）位，所得抛物线与x轴交于C、D点，与原抛物线交于点P

（1）求点P的坐标（可用含m式子表示）

（2）设△PCD的面积为s，求s关于m关系式．

（3）过点P作x轴的平行线交原抛物线于点E，交平移后的抛物线于点F．请问是否存在m，使以点E、O、A、F为顶点的四边形为平行四边形．若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．

解析：本题肯定要作图如下：

（1）解法一：原抛物线：y=-2x^2+4x=-2（x-1）^2+2，

则平移后的抛物线为：y=-2（x-1-m）^2+2，

一元二次方程组解得点P的坐标为（1+m/2，2-m^2/2 ）；

解法二：原函数顶点坐标为（1,2）向右平移m单位，所以P点x轴坐标为1+m/2，代入原函数解得P点坐标为（1+m/2，2-m^2/2 ）；

注意：不是所有的问题都必须计算出结果，只需要找出P点x坐标代入原函数就能知道P点坐标了。

（2）注意m的取值与P点的变化，求出抛物线与x轴的交点坐标，根据当0＜m＜2，当m=2，即点P在x轴时，当m＞2即点P在第四象限时，分别得出即可；

当0

当m=2时，P点在x轴上，不存在△PCD

当m>2时如图：

当m>2时，△PCD的面积S=1/2×CD×Py=1/2×OA×│Py│=m^2/2-2

注意：m的取值问题，和P点Y坐标的正负。面积不能为负。

（3）自己画图，要成为平行四边形，我们只需要找到一点，使EF=OA=2，PE=1就可以了，线段EF的长度随着m的增大而变大，

解：假设存在m使E、O、A、F为顶点的四边形为平行四边形．则P点坐标为（1+m/2，2-m^2/2 ），E点坐标为（m/2，2-m^2/2 ）

将E点坐标代入原函数得：-2×（m/2）^2+4×（m/2）=2-m^2/2

解得m=1，所以当m=1时，存在m使E、O、A、F为顶点的四边形为平行四边形．

3、一个抛物线形的桥洞，洞离水面的最大高度BM为3米，跨度OA为6米，以OA所在直线为x轴，o为原点建立平面直角坐标系。求：一艘小船平放着一些长3米，宽2米且厚度均匀的矩形木板，要使该小船能通过桥洞，问这些木板最高可堆放多少米？（设船身底板与水面在同一平面）

解析：

注意：（1）平放是关键，如果没有这两个字，答案就变了，

（2）想放的高，所以选宽2米，

解：设抛物线为y=ax^2+bx+c

图象过点(0,0) (6,0),和(3,3)代入

c=0

0=36a+6b

3=9a+3b

算得 a=-1/3, b=2，c=0

抛物线为：y=-x^2/3+2x

宽度2就可以通过（长为3不用）

则刚好通过时与抛物线交点为C(2,h),D(4,h)，将C点坐标代入抛物线函数，解得：h=8/3

本题不画图也可以，解题时说的已经很明白了，如果还是不懂可自行画图，再对照解析。