相似矩陣之間究竟什麼關係？

線性代數里面相似矩陣的定義是說，一個矩陣A，另一個矩陣B，如果A和B是相似矩陣，則必存在一個可逆矩陣M，是的A和B滿足下列關係

B=M'*A*M（即M逆乘以A乘以M）

那麼這麼一個定義顯然不容易看不出A和B的特殊關係，既然是相似矩陣，A和 B 之間總得有點不一樣的關係吧？

這個不一樣的關係就是A和B擁有同樣的特徵值，設為L（實際教科書裡是蘭姆達，但是不好輸入，這裡用L代替。）

證明的方法很巧妙：

特徵值和特徵向量和矩陣的關係是這樣：

設x是矩陣A的特徵向量，則 A*x=L*x， L是個數值，x是一個向量，A是個矩陣。

如果B是A的相似矩陣，L也是B的特徵值。

第一步： A*M*M'*x=L*x 左側加入M*M'=I 等於什麼也沒加入。

第二部：等式兩邊左乘M' M'*A*M*M'*x=L*M'*x

第三部： 帶入B， B*M'*x=L*M'x M'*x是一個向量，根據特徵值和特徵向量的關係，則L是B的一個特徵值，而M'*x是B的一個特徵向量。

所以，A和B擁有共同的特徵值，而對應該特徵值的，B的特徵向量x(b)=M'*x(a).