今天通過這樣的方式與大家分享一道有趣的概率題目.這道題目看似來挺簡單,卻也實實在在坑了不少人.
首先來看一下這個題目.
題目再現
上面這個題目是一位老師在一個群裡發出來,供大家交流討論的.當時好幾位老師各執觀點,不亦樂乎.
過了幾天,有一個學生給我發來一個截圖,貌似是某個搜題軟件上的截圖.
我一看,這個問題與之前的問題幾乎如出一轍.所以我給了她一些提示,希望她能看出問題的本質.可能是提示的不到位,也可能是學生思路一時沒轉過彎,當時說還是不明白.看起來這個題目真的不是那麼一眼就能看明白的.
這兩個到底有什麼玄機呢?
由於這兩個題的本質上是一樣的,所以我針對第一個老師發出來的填空題做一點分析.
初看起來,就是一道很普通的填空題,求一個隨機變量的概率,無論是背景還是條件都不復雜.但是不少人在思考過程中卻深陷泥潭而出不來,越想越覺得撲朔迷離,頭緒萬千.
如果仔細研究，會發現這個題目涉及很多概率論中的基本概念，非常有嚼頭。我喜歡把簡單問題複雜化，如果讀者希望直接看到問題的答案，可以跳過下面這部分，直接看文末答案即可。
(一)帶你入坑
錯解：我們先來看一種很容易想到的思路：求在最後一層有4個人下電梯的概率，那就意味著有1個人在第18層或者19層下了電梯。
所以概率為
這樣思考貌似沒什麼問題，考慮到了每一層的可能情況，再根據分步乘法計數原理對每一層的概率相乘，最後相加得到最終結果。
實際上這樣的解法不僅不對，而且離正確思路相去甚遠，到底犯了什麼錯誤呢？我們一起來辨析一下：
（1） 我們把模型簡化一下：如果只有一個人上電梯，在隨後的2，3，4三層中每一層下電梯的概率都是1/3，請思考他在第4層下電梯的概率是多少？是不是意味著他在第2層和第三層都不下電梯，並且在第4層下電梯呢？是的沒錯。
錯解
（二）坑裡反思
(1)既然上面的解法存在錯誤，那麼錯誤的本質是什麼？
上面的錯解實際上是認為這個人在三層電梯中的每一次下電梯是相互獨立的。實際上三個事件並不獨立。獨立性要求隨機事件之間不能相互影響。但是在第2層下了電梯就不可能在第3層下電梯，所以隨機事件之間不是獨立的。
（2）抽籤的公平性與條件概率
這讓我想起一道經典的題目，是關於抽籤公平性的：有3個人抽取1個獲獎名額，三個抽籤中只有一個是獲獎的，採用輪流不放回抽獎的方式，試問最後一個人抽獎是不是獲獎概率最低？
抽籤公平性的解答
可見抽籤無論先後，中獎概率都是一樣的。當然這是指沒有黑幕的情況下。
在概率論中，這種前一種情況會影響後一種情況的概率，叫做條件概率。只有當條件概率等於無條件概率時，隨機事件才是獨立的。而無論是出電梯還是抽籤，顯然都不是獨立的。
（三）帶你出坑
問題的正解 這個題目如果從條件概率的角度去解，也會比較燒腦。實際上高考題在考查求概率的時候不會很複雜。
這個題目的原型是2006年重慶市的高考題,原題是這樣的:
高考原題
從這個題目中，可以為我們的複習提供哪些啟示呢？
1. 在數學複習中，尤其是概率統計中一定要重視基本原理的理解和思考，要對重要的模型有全面的理解，並能把模型靈活應用在其他問題上。
2. 以前一直有學生說不喜歡舊題，其實舊題也有巨大的價值可以挖掘。當然學生的精力和能力都有限，這就需要輔導教師做好功課，才能把最好的內容呈現給學生。
3. 高考備考既要看到未來的趨勢，也要尊重過去的傳統，尤其是一些經典的問題，值得多思考多琢磨。
最後希望這篇倉促間寫成的小文能給大家有用得啟發，之前問題的那位同學不知道能否看到，希望她已經很好的理解了這麼題目，並可以拿到該拿的分數。
