作者 | 羅偉
張奠宙(1933-2018），華東師範大學教授，以前在師專讀書時對這個名字有些印象，是和鄭元英等編著數學分析教材，第一次進一步瞭解是在《師從張景中》一書中，作為數學教育的領軍人物，研究領域涉及基礎數學、現代數學史和數學教育。1999 年當選為國際歐亞科學院院士。第二次深入瞭解是在讀了《張奠宙數學教育隨想集》後，我從中學到了很多知識，對張教授亦是更加佩服。下面從幾個方面分別談談自己的收穫。
一、數學小品
第一次聽說數學小品，是在彭翕成講數學讀者群，楊春波老師經常上傳自己寫的數學小品文章，我曾問他為何叫數學小品呢，而不是數學相聲呢？現在看來是自己缺乏瞭解。後百度查了一下，數學小品是新穎、生動、活潑的數學輔助讀物，用文學的語言及故事情景將數學的原理解說得有情、有理、有趣，消除了數學的枯燥乏味刻板嚴肅形象，充分激發學生興趣，不知不覺中學習了數學知識，深受學生喜愛。本書的數學小品主要是收集了一些談論數學、理解數學和欣賞數學的短文。文字上活潑生動，具有人文意味，藉以揭示和欣賞數學的文化底蘊。
對我來說印象較深的有算術解法比喻為摸石頭過河，代數解法比喻為用繩子拴住寶石去拉過來很形象。在我們課堂學習概率時，對於“等可能的事件”如摸球、丟硬幣則沒有必要，因為等可能的事件的概率是通過理性思考得出的，並不依賴於實驗。但是像“丟啤酒瓶蓋”這樣的“非等可能性”的隨機事件，可通過數學實驗，根據結果，引導學生用頻率估計概率。這也符合數學新課標中通過基本活動經驗使學生由感性上升到理性認識。
對於初中“平面直角座標系”如何教學設計，張教授認為座標系的設計不能僅僅停留在小學的水平如“東大街、南馬路”交界處的問題來引入，而要高於定位，上海長寧區某老師的做法較好，先把教室的課桌椅併攏，以某同學為原點，兩條綁有箭頭的塑料繩按相互垂直的方向擺放形成座標軸，於是每個同學都有座標，然後教師提出典型的問題，如“兩個座標都是負數的同學站起來”、“兩個座標都相同的同學站起來”、“第一個座標為 0 的同學站起來”，真正體現座標的價值。
變化中的不變性。數學中有對稱，詩詞中講對仗。其實它們在理念上具有鮮明的共性：在變化中保持著某些不變性質。文中舉例說兩個圖形是軸對稱的，是指將一個圖形沿著某一條直線摺疊過去，和另一個圖形能夠重合。即一個圖形“變換”到對稱軸另外一邊，但是圖形的形狀沒有改變。更舉例一個民族必須與時俱進，不斷創新，但是民族的傳統精華不能變，說的真好，另舉例對稱的二次式，這使我想起了孫維剛老師書中也提到對稱性可解決很多問題，讀此書，我對變化中的不變性有了深入的瞭解。2017 年 3 月，我開設了一節區級中考複習研討課，課題為《反比例函數複習》，請市教研員疏嘉老師指導，他也指出反比例函數圖像中的變化中的不變性，點在反比例函數圖像上運動時，點與兩座標軸及原點圍成的三角形的面積不變，並且使用幾何畫板進行動態演示效果更好。另外還有很多類似的性質，我們要去歸納總結。
在數學中有很多疑惑問題，不僅存在學生心中，有的老師也不知所措。如 是不是方程？是方程嗎？我們真有困惑，其實數學教授對中小學內容也有不解的地方，如三角形有邊嗎？程其襄教授也有疑惑，對此，我們可以“難得糊塗”，蘇步青先生也指出中小學教材並不是每一處都嚴密的“滴水不漏”，這也給一線教師帶來了安慰，一些類似的題目就要放棄，沒必要爭執，把主要的精力投入到有效的教學中去。
詩歌的美。一些詩詞中其實也蘊含著數學知識，比如李白的《黃鶴樓送孟浩然之廣陵》詩句：
故人西辭黃鶴樓，煙花三月下揚州。孤帆遠影碧空盡，唯見長江天際流。
其中“孤帆遠影碧空盡”，生動體現了一個變量趨於 0 的動態意境，很美的場景，它較“一日之棰”更具連續變量的優勢，更為傳神。
又如宋朝葉紹翁《遊園不值》的詩句：
春色滿園關不住，一枝紅杏出牆來。
院牆再高，紅杏總能伸過牆來。大學的無界變量可以形象的如此解釋，粗糙的數學語言變得形象。
三維空間加上時間，可理解為四維空間，我們很難理解。一首陳子昂的《登幽州臺歌》給我們打開了想象力。
前不見古人，後不見來者；念天地之悠悠，獨愴然而涕下。
前兩句是說時間，可看成一條直線，無限延伸，後兩句是說天地構成了三維的現實空間，整體而言，不就是愛因斯坦所說的四維時空學說嗎？
我在《數學哲學》書評一文中提到我們初中學的所有的無理數都可以在數軸上表示出來，試問三次根號 9 該如何表示呢？我們確實辦不到，這實際就是存在性與構造性的問題，在大學數學也有類似的問題，如可以判斷一個微分方程存在解，但是無求出來，讓賈島的古詩來為我們解釋吧？
松下問童子，言師採藥去。只在此山中，雲深不知處。
能確定師傅肯定在山中，但還真不容易找到，這也許就是數學的一種美“存在性”，它給我們想象，也讓我們無奈。
在數學小品一文中，也提到了第三代的微積分，第一代微積分是由 17、18 世紀牛頓、歐拉表述的，邏輯上不嚴密。我們上學學習數學分析時採用的是第二代微積分的表述，剛開始很難學，慢慢地也能適應，現在很多高等數學的知識下放到中學，若採用第二代微積分，高中學生很難理解，不講極限的微積分在張景中和林群院士的共同努力下，有了新的表述，並逐漸深入到中學課堂中，深得大家好評，也避免了中學微積分與大學微積分之間的重複，這就是第三代微積分。
二、域外見聞
著作的第三部分介紹了域外見聞，是張教授退休之後出訪美國、韓國及香港、澳門等地得大學和中學後自己的觀感，我今天讀了第二遍，收穫很多知識。
美國的比佛學院（後改名為阿卡迪亞大學），位於費城西北，是私立性質，每年大約招 500 名新生，能進入此校讀書也不容易，張教授原以為訪問只是講數學，數學教育和微積分內容，後又回答了熱門話題如臺灣局勢、WTO 及好萊塢等，和政治系、教育系、數學系的主任和教授交流了看法，該院沒有招待所，住的民居四各房間，約每天 94 美元。
而後張教授又應邀去斯沃斯莫爾學院訪問，該學院只有本科生，教授主要從事教學，學生人數少，能收到良好的教育，學費每年 33000 美元，比一般的公辦學校多不少，它的新生錄取率不到 20%，與加州理工學院相當，比麻省理工學院還要低，但是，優秀的學生可享受各種獎學金，在美國文理學院（只有本科生，無研究生）2017 年排名第 4，全美排名第 19 名，學校堅持自己得特色辦學，才能長久持續發展。
2004 年，張奠宙教授和戴再平教授在國際數學教育大會上，做了 45 分鐘的演講，題目為“中國的雙基教學和開放題教學”，韓國數學教育協會的崔英翰教授聽後感覺很好，於是邀請張教授 10 月份到參加“創造與發展-------國際數學教育研討會”作一小時的演講，首先，澳大利亞的教授唐納森認為數學的價值，歸根結底是通過實際應用推動社會的發展與進步，正如用微積分發展力學，數學方法設計電子計算機，其實還有中國的張景中院士等估算航天位置，谷超豪院士推算石油的開採等，也創造了社會價值。唐納森教授在音樂、體育、美術等領域顯示數學的創造性應用。韓國學者也重視創造性的培養，如簡單的摺紙成五邊形、六邊形，可體會角度之間的關係及各種變化，這也是我們需要學習的，在教學中要重視創新能力的培養。最後是張教授演講，主要是講中國的雙基，四個方面為計算速度，準確記憶，邏輯表達，重複演練，雙基需要發展，基礎必須和創造相結合，如今，正如張教授所說的一樣，由雙基發展為四基，另注重培養學生的應用意識和創新能力。為什麼中國學生在國際數學競賽和數學測試中成績優良，但總是說中國的數學落後呢？在《華人如何學習數學》一文中講闡述。這是中國人自己研究中國數學教育的第一本英文著作。
在香港數學會 2005 年年會中，作為唯一的大陸演講者，張教授談到了在數學教學中呈現數學本質的看法，有的課堂教學表面上追求熱鬧，實則忽視數學本質，也得到了香港專家的重視。
在澳門訪問了三所中學，主要是關於開放題的教學及課堂展示，顯示了教學的多元化，不像大部分內地學校，只重視成績，其中，在培道中學，因副校長是畢業於北京大學數學系，故數學特色很濃厚，學生從觀察到猜測到證明，現在看來也是無可挑剔的思路，還開發數學軟件應用於教學中。對於《幾何原本》，是徐光啟和利瑪竇合作翻譯的，從此，開啟了中國科學的發展，澳門就有利瑪竇中學和小學，這也是澳門引以為豪的吧？21 世紀，江澤民主席在訪問濠江中學時，談到星形幾何問題。
美國等西方教育鼓勵個性發展，創新求變，主動合作交流，現在看來徐州的學講模式等也是學習美國的，其基本環節是：自主學習，合作交流，質疑拓展、課堂小結，檢測反饋等環節。從培養學生的能力看來，也是應該肯定的。中國數學也有自己的傳統如重視基本知識和基本技能，引入問題情景，啟發式講解，熟能生巧，例題變式訓練等，也值得發揚得。
如同中國有課標爭論，美國也有數學教育的爭論，1998 年，加州的一批數學家和數學教育家公開批評美國和加州的數學教育，指出課標要求太低，基礎寬而不深，教材嚴謹性不夠，，而美國數學教師協會（NCTM）則認為美國數學教育基本面是好的，指出加州的部分人是出於政治目的，時任美國總統則認為雙方應該團結起來，於是成立了一個專門的機構，委員會的成員的信息都被公佈在網站上，成員組成有心理學家、數學家、數學教育家、數學教師，其中有兩位華裔學者伍鴻熙教授和馬立平博士，後者在一本書中指出美國小學數學教師水平低下，而一舉岀名，委員會多次舉行報告，討論不同學者的意見，爭論漸息。
張教授又參觀了美國蒙臺梭利小學，因為他的外孫女在那讀書，小學教育和中國不同，沒有講臺，沒有朗朗的讀書聲，也沒有成績排名，沒有小學畢業考試。他外孫女的運算能力不及中國人，能算對，但不熟練，速度慢，缺少些規範性，平時作業很少，暑假也沒有作業。
美國的初中是 6---8 年級，美國的數學教育主張從情景出發的數學建模活動，不大關注考試結果的評價，所以在考試上美國學生比不上中國學生，美國學生若筆算肯定比不上中國學生，但他們都用計算器，但在發散性思維方面，中國學生則恐怕不佔優勢。
美國與中國高中教學內容的差異，這就導致美國一般的學生數學水平不行，但是優秀生水平超過中國。中國高二已基本結束功課，進入做高考題環節，大量重複的訓練，是為了心中的目標是“考上北大清華”，而此時美國則開設很多選修課，如數學類，高等物理，高等化學，數學細分有微積分‘線性代數，以及常微分方程，偏微分方程，實分析，拓撲學等，他們的想法不是考上名校，而是“改變人類生活”，有人會問，美國的初中數學不是基礎比不上中國嗎？是有部分學生比不上中國學生，它們是一個集團，人數多，就像跑步一樣，中國高中生都忙於複習，又有幾人選修這些功課呢？這也許與中國的高考政策與美國不同，中國得一些校長已看到了這些，正想法提高優秀學生的素養。
美國的中學教師工作和中國也不相同，沒有職稱評定，沒有教研組，不評定教師的教學成績，認為學生若沒學好，教師不是唯一的因素，上課也隨意發揮，中國去美國的教師則備課充分，講課有條理，注重方法，效率高，考試成績也好，很受歡迎，這是中國教師的優良傳統。美國的教師一般也是有責任心，也會經常參加進修和研討，來提高他們的水平。
三、數學前輩
在本書的第四部分，收錄的是作者對數學前輩的敬仰和懷念。
● 華羅庚
我們學習數學的人都知道華羅庚的名字，以前是從孰能生巧和數學統籌法知道華羅庚的。他雖然沒有關於中小學教育的直接論述，但是他也影響了中國數學教育的進程，表現在介紹學習數學的方法，倡導數學競賽，撰寫科普文章，使用楊輝三角等民族化數學命名等。
熟能生巧。這裡熟並不是死背定律和公式，或死記現成的結論。是要掌握你所研究的學科的主要環節，懂得前人是怎樣思考和發明這些東西的。熟能生巧可以成為數學教育的一個基本出發點。我們在教學生做題時，要爭取做到孰能生巧。比如解方程，解幾題學生不熟練，可以再多做幾題。通過一定的訓練量，學生對解方程的步驟就熟悉了，應用也得心應手，甚至會根據題目的特殊性採取特殊的解法。
厚薄讀書法。讀書要從薄到厚，再從厚到薄。剛讀書時，是學習、接受的過程，隨著掌握的知識越來越多，還要消化、提煉，由不懂到懂，學習速度就可以加快。運用到中學教育教學中，第一步是讓學生吸取知識，不斷練習，廣泛閱讀，加深自己對知識的理解，把書讀“厚”，第二步是幫助學生反覆咀嚼，消化吸收，自己總結解決數學問題的經驗，然後融會貫通，這樣書就變“薄”了。
數形結合。數形結合是常用的數學思想，有詩曰“數缺形時少直覺，形少數時難入微。數形結合百般好，割裂分家萬事非。”勾股定理是數形結合的典範，通過圖形，把直角三角形三邊的平方構造成三邊分別向外作三個正方形，平方即轉化為面積，多麼美妙的幾何解釋。顯示了數形結合的魅力。
弄斧到班門。中國有句俗話，叫班門弄斧，比喻在行家面前賣弄本領，也有自謙的含義。真正的班門弄斧需要勇氣、自信、膽量和能力。通過自己的努力，要爭取在更高的平臺上展示自己的成果，我覺得這也是努力奮鬥的目標。
● 陳省身
學習幾何的人都應對他不陌生，在江蘇師大讀研究生的日子裡，吳報強教授談到學習幾何的人少，難度比其他科目要大，後談到他一次參加陳省身大師的培訓班，在一次考試中，考了第 6 名，這是我第一次聽到陳省身這個名字。後來通過讀書，加深了對陳省身大師的瞭解。張奠宙教授和上海教育出版社的趙斌編輯合作了一本書《二十世紀數學史話》，楊振寧教授買到這本書，轉送給陳教授，這樣二位教授就互相認識了，陳先生鼓勵張教授把作品譯成英文在美國發表，同時又委婉地指出了一些重要的發展沒收入進去，這封信給作者很大的鼓勵，也改變了作者的後半生，那就是數學教育和數學史研究，許多專家都是從專業數學領域走上數學教育之路的，後作者有好幾次機會跟陳先生學習。
2000 年，張教授將《二十世紀數學史話》擴展，寫成《20 世紀數學經緯》，完成了陳先生交給的任務。後又編撰《陳省身傳》，得到陳先生的首肯，在寫陳省身和華羅庚的關係時，作者拿不定主意，陳先生說華羅庚是我的第一個朋友，二者都很用功，走的路不一樣，華羅庚雖然沒有文憑，但發表了很多論文，（其他書上說華羅庚是自願放棄博士學位，一心做學問），二人一人國外、一人國內發展，都取得傑出成就。
● 吳文俊
吳文俊先生在基礎數學如拓撲和機械化數學研究領域做出了創造性的貢獻，他創造的幾何定理的機器證明方法，用現代的算法理論，使中國古代數學的算法傳統煥發了巨大活力，因此 2000 年獲得第一屆國家最高科技獎。但是，我們中學教師對機器證明了解很少。張景中院士也對機器證明進入了深入的研究，取得豐碩成果，1995 年獲中科院自然科學獎一等獎。
吳先生也對中國數學教育做出了直接貢獻。在他的建議下，微積分已納入高中的課程，吳先生建議數學教育不是培養數學家，而是培養公民的數學素養為目的，教學改革一要慎重、先進行試點，比如幾何向量進入了上海初中教材及高中課本，座標滲入小學課程，還建議用原理取代公理化，現在蘇科版初中教材以無公理概念，因為做不到嚴格的公理化，成了基本事實。出入相補還沒引起重視，只是用割補法簡單帶過。
吳先生還提出要培養學生的創造能力，現在已被寫入了課標。提出推陳出新，陳就是古往今來許多先進的成果，我們要認真的學習，有批判的吸收，只有打下堅實的基礎，才能創新。在數學教育教學中，既要發揚傳統，又要吸收和借鑑國外的先進經驗，比如現在的課堂有引入問題情景、啟發式講解、解題變式等傳統，另外的自主探究、合作交流源自國外。
● 程其襄
對程先生名字有因印象，源於其和鄭英元、毛羽輝編注的華東師大出版社的《數學分析》教材，此教材是上大學時數學系選用教材，讀了兩年書，後考本科函授又讀了三年，考研究生又看了兩年，看了張教授的這部書，對程先生有了深入的瞭解。
程先生數學功底深厚，1943 年獲柏林大學數學博士學位，精通德文及拉丁文，作為主要參加者翻譯過《馬克思數學手稿》，另參與校印希爾伯特的《幾何基礎》、《德國數學名詞等》，參與撰寫《辭海》裡的數理邏輯學詞條。
區間套定理是數學分析的難點，他形象地說天安門上有個國徽，國徽裡有小天安門，小天安門裡又有小國徽，如此，最後趨於 0，巧妙的比喻，非常生動容易理解。
在研究生班，教材大多取材於德國，並對數學的一些形式做了全新的處理，使學生流連忘返，教給學生恰當的方法，事半功倍。他板書認真，常常密密麻麻，上課基本不看講稿，當堂展示思考過程。他指出微積分的精髓在於局部性質和整體性質的統一，微分中值定理重要之處在於是從局部到整體過度的橋樑。
