今天給大家分享的是2017年春府谷縣數學期末考試第20題，主要涉及幾何證明綜合題，有一定難度，感興趣的同學們可以自己嘗試做一下。
【例題】
（1）在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF＝60°，試探究圖1中線段BE、EF、FD之間的數量關係．
小亮同學認為：延長FD到點G，使DG＝BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，則可得到BE、EF、FD之間的數量關係．請你按照小亮的思路寫出推理過程．
（2）如圖2，已知正方形ABCD，△AEF是正方形ABCD的內接等邊三角形，請你找出S△ABE、S△ADF、S△CEF之間的數量關係，並說明理由．
圖1
【涉及考點】全等三角形的判定；等邊三角形的性質；正方形的性質．
【解題分析】
（1）延長FD到點G，使DG＝BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，則可得到BE、EF、FD之間的數量關係．
（2）延長EB至G，使得BG＝DF，連接AC，交EF於H，過E作EP⊥AG，構造全等三角形，再求得S△CEF＝1/2EF×CH＝1，S△AGE＝1/2AG×PE＝1，即可得到S△CEF＝S△AGE，即S△CEF＝S△ABE+S△ABG＝S△ABE+S△ADF．
【詳細解答】
解：（1）延長FD到點G，使DG＝BE，連接AG，
在△ABE和△ADG中，DG=BE,角B=角ADG，AB=AD
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝1/2∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，AE=AG，角EAF=角GAF，AF=AF
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF．
（2）S△CEF＝S△ABE+S△ADF，理由如下：
如圖，延長EB至G，使得BG＝DF，連接AC，交EF於H，過E作EP⊥AG，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABG＝∠D，
在△ABG和△ADF中，AB=AB,角ABG=角D，BG=DF
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴BE＝DF，∠DAF＝∠BAG，AG＝AF，
∴CE＝CF，
又∵AE＝AF，
∴AC垂直平分EF，且△CEF是等腰直角三角形，
設EF＝2，則EH＝CH＝1，AE＝AG＝2，
∴S△CEF＝1/2EF×CH＝1，
∵∠EAG＝∠BAG+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝90°﹣60°＝30°，
∴PE＝1/2AE＝1，
∴S△AGE＝1/2AG×PE＝1，
∴S△CEF＝S△AGE，
即S△CEF＝S△ABE+S△ABG＝S△ABE+S△ADF．
圖2
【總結】
這道題主要考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質以及等邊三角形的性質的運用，解決問題的關鍵是作輔助線構造全等三角形，依據全等三角形對應邊相等進行推導計算．
圖3
