今天给大家分享的是2015年辽宁沈阳和平区中考数学一模第26题，这道题主要考察二次函数的综合，涉及的知识点也比较多，感兴趣的同学可以尝试一下。
【例题】
26.在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣40/9与x轴交于A，B两点，A，B两点的坐标分别为（2，0）、（﹣10，0）
，点C为抛物线的顶点．
（1）求抛物线所对应的函数表达式及其对称轴；
（2）抛物线的对称轴交x轴于点D，若点E是线段CD上一动点（不与C，D两点重合）．
①如图1，以AE，CE为边作平行四边形AECF，求对角线EF的长的最小值；
②如图2，延长AE到点M，使ME＝nAE（n为常数）．以AM，CM为边作平行四边形AMCN，则对角线MN的长的最小值是 （用含n的式子表示）．
图1
【涉及考点】二次函数综合题．
【解题分析】
（1）利用待定系数法可求解析式，通过配方可求顶点坐标，即可求对称轴；
（2）①连接AC，交EF于点P，由平行四边形的性质可得PE＝PF，AP＝PC＝1/2AC，则当PE⊥CD时，EF的长有最小值，由平行线分线段成比例可求PE的最小值，即可求解．
②如图2，连接AC，交MN于H，过点A作AG∥CD，由“AAS”可证△AGH≌△CKH，可得KH＝HG，由平行线分线段成比例可求MH＝MK+KH＝（2n+1）KH，则当KH⊥CD时，KH的长最小，即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣40/9与x轴交于A，B两点，A，B两点的坐标分别为（2，0），（﹣10，0），
∴4a+2b-40/9=0,100a-10b-40/9=0
∴a=2/9，b=16/9
∴抛物线解析式为：y＝2/9x2+16/9x﹣40/9，
∵y＝2/9x2+16/9x﹣40/9＝2/9（x+4）2﹣8，
∴点C（﹣4，﹣8），
∴对称轴为直线x＝﹣4；
（2）①连接AC，交EF于点P，
图2
∵四边形AECF是平行四边形，
∴PE＝PF，AP＝PC＝1/2AC，
∴EF＝2PE，
∴当PE的长最小时，EF的长有最小值，
即PE⊥CD时，EF的长有最小值，
此时PE∥AD，
∴PE/AD=CP/AC=1/2，
∴PE＝1/2AD＝1/2（2+4）＝3，
∴EF＝2PE＝6，
∴EF的长的最小值为6；
②如图2，连接AC，交MN于H，过点A作AG∥CD，交MN于点G，设MN与CD交于点K，
图3
∵四边形AMCN是平行四边形，
∴AH＝CH，MH＝NH，
∴MN＝2MH，
∴当MH的长最小时，MN的长有最小值，
∵AG∥CD，
∴∠ACD＝∠CAG，且∠MHC＝∠GHA，AH＝CH，
∴△AGH≌△CKH（AAS）
∴KH＝HG，
∵AG∥CD，
∴ME/AE=MK/KG=n
∴MK＝nKG＝2nKH，
∴MH＝MK+KH＝（2n+1）KH，
∴当KH的长最小时，MH的长最小，
∴当KH⊥CD时，KH的长最小，最小值＝1/2AD＝3，
∴MH的最小值＝3×（2n+1）＝6n+3，
∴MN的最小值＝12n+6．
故答案为：12n+6．
【总结】这道题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，平行四边形的性质，垂线段最短等知识，灵活运用这些性质推理是解决本道题目的关键．
图4
