數學模型之美

什麼是美？這個問題起源於柏拉圖的提問。

古希臘哲學家認為，世界的本源，即實體，是由質料加形式所構成的， “秩序和比例的明確”是美的形式特徵。確定事物是否美，必須依據量的原則和秩序的原則，把事物各個不同的因素，組成一個和諧統一的整體。

在中國的傳統哲學思想中，認為美的本質是自然。這裡指的自然是指符合事物的規律，也就是中國哲學中所說的“道”。及至現代，我國著名美學家朱光潛先生在《談美》中指出，“每個科學家和哲學家對於他所見到的真理覺得有趣味，就會用一股熱忱去欣賞它。當真理成為情趣中心時，就成為了美感的對象。”

對於數學家來說，當他的意志、智慧、激情都專注於這種情趣中心時，由此所激發出來的本質力量極具創造性。

哈代曾有言 ：“數學家的模式，就像畫家或詩人的模式一樣，是充滿美感的 ；數學的概念就像畫家的顏色或詩人的文字一樣，一定會和諧地組合在一起。美感是首要的試金石，醜陋的數學在世界上是站不住腳的。” 羅素說 ：“數學，如果正確地看它，不但擁有真理，而且有至高的美，這是一種莊重而嚴格的美，這種美不是投合於我們天性中的脆弱的方面，而是純淨到了崇高的地步，能夠達到嚴格且只有最偉大的藝術才能顯示的那種完美的境地。”克萊因在《西方文化中的數學》一書中強調，“作為一種寶貴的、無可比擬的人類成就，數學在使人賞心悅目和提供審美價值方面，至少可與其他任何一種文化門類媲美。”

數學本身就是對美的一種規定，是自然的、藝術的、統一的。這種隱匿的和諧以某種數學模型投射到我們的大腦之中，使我們能夠對自然中所發生的事件進行分析、瞭解、認識、描述和解釋。數學模型之美，就是在與它無數次周旋、回望之中萌生於心的情懷。

1 數學模型之美

模型（model）作為原型的替代物，是為了某個特定目的對原型的簡縮、模仿和提煉。模型無處不在。例如，汽車模型、人體模型、建築模型等等。

數學模型是針對現實世界的特定對象，為了一定目的，進行必要的簡化和假設，運用數學的符號、關係式等，概括表達問題的數量關係和空間形式的一種工具。作為一種思考和解決問題的方法，數學模型或者能夠解釋特定現象的現實性態，或者能夠預測所研究問題的未來發展狀況，或者能夠提供度量的工具，或者為處理實際問題提供科學合理的決策。

和創造一個有魅力的藝術作品一樣，數學模型也是一種創造，而且是必須符合美學原則的創造。數學模型之美，就表現在它所揭示的客觀規律的科學性和合理性，表現在它的簡潔之美、抽象之美、對稱之美、奇異之美、統一之美等等，表現在建立這個數學模型的過程之中。

1. 1 數學模型的簡潔之美

現實世界就是一個複雜與簡單的結合體。數學模型恰恰是人類思維經濟化的體現。一個問題（Case Studies）看似複雜，但是，當我們運用簡化的方法撥開迷霧、去偽存真的時候，可能會驚喜地發現，其實就是這麼簡單。

愛因斯坦曾說 ：“從希臘哲學到現代物理學的整個科學中，不斷有人力圖把表面上極為複雜的自然現象歸結為幾個簡單的基本概念和關係，這就是簡單性原則。”他還精闢地指出 ：“人們總想以最適當的方式來畫出一幅簡化的和易領悟的世界圖像。於是他們就試圖用他們這種世界體系來代替經驗的世界，並來征服它。”我們可以用兩句話 ：“數學模型如詩，數學模型如畫” 來形容數學模型的簡潔之美。一首詩，是用最少的語彙來表達天、地、人之間的最大量的思想和感情。一幅畫，是要在有限的畫面上來表達最多的情感和事物。

這是一個提煉的過程。數學模型通常只是所研究的那部分現實世界的一種虛構、簡化的版本。假設、簡潔、優雅的表達十分重要。

例如，在同樣的高度，一個乒乓球和一個高爾夫球做自由落體運動，它們應該同時到達平坦的地面。描述這個問題，需要以簡化問題的方式給出假設，即設想是在保持真空的狀態之中。

數學模型的簡潔美，概括起來就表現在四個方面 ：

• 追求較少的假設條件——這樣，才能使模型與客觀實際密切相對應，因為合理的假設而對結果產生微不足道的影響，保存了那份“真”；
• 形式簡潔、邏輯清晰——這樣的模型往往“好看”，並且可以便於進行精確的計算；
• 採用儘可能簡單的方法——體現了人腦思維和電腦活動經濟化的要求 ；
• 推出廣泛而深刻的結論——使問題脫離物理上的實在，給出符合一些特定規則的符號表達式，利於應用。

1.2 數學模型的抽象之美

抽象，我們常常只是看到了它晦澀的一面，卻很少領會其高級的“直覺”之美。正是有了抽象，我們才能看見那些平常看不見的、更貼近存在本質的現實。抽象是人類的一種高級的智慧。

數學的抽象就是對某類事物共性的描述，只保留量的關係和空間形式而捨棄了其它一切。數學的抽象是一級一級逐步提高的，它們所達到的抽象程度大大超過了其他學科中的一般抽象。數學本身幾乎就完全周旋於抽象概念和它們的相互關係的圈子之中。

其實，抽象也並不是數學獨有的特徵，任何一門科學和藝術都有抽象。比如，在繪畫中，抽象性就有很好的運用。

20 世紀的超現實主義的藝術大師米羅（Joan Miró, 1893-1983）的 “抽象畫”，貌似信手塗鴉，其實，米羅從具象到抽象的過程都經過了極為縝密的思考，是精心的設計的結果。米羅的作品充滿了異想天開的情趣，有著極高的“直覺表現力”，他的各種表達使我們看到其所形成的具象已經被抽象成為了簡約的符號。

數學家哈爾莫斯（Paul Halmos）說 ：“在繪畫與數學中，美有客觀標準。畫家講究結構、線條、造型、肌理，而數學家則講究真實、正確、新奇、普遍。數學家因為對發現的純粹愛好和其對腦力勞動產品的美的欣賞，創造了抽象和理想化的真理。”在數學建模時，抽象是必不可少的手段。抽象使我們能夠脫離一些具象而揭示本質。例如，圖論模型可以用在多種場合。這種由點和連線組成的模型不需要考慮點表示的究竟是地區、還是課程，還是其他什麼具體的東西。

• 數學模型的抽象之美就體現在 ：透過具象，穿越時空——同樣的模型可以研究很多不同的現象 ；
• 抽象分析，深入本質——這樣才能提取實際問題的重要特徵 ；
• 描述問題中的關係——暫時與現實世界的具象脫離，在純粹的數學世界中建立關係，預測和掌握變化趨勢，推出具有普遍性的結論。

1.3 數學模型的對稱之美

在自然界中，對稱作為一種物態的表現形式，可以說無處不在。蝴蝶美麗的雙翅，在各類動物中五官的形象，甚至皮毛的紋絡，都呈現千姿百態的對稱因素。對稱也活躍於數學模型中。

對稱，是在一定的變換條件下的不變現象。1951 年，德國數學家外爾（H.Weyl）給出對稱性一個十分形象的描述 ：“對一個事物進行一個變動或操作，如果經過操作後，使該事物完全復原，則稱該事物對所經歷的操作是對稱的。”

由於操作方式不同，有四種對稱 ：恆等、旋轉、反射、平移。

幾何、代數、分析中都存在著大量的對稱。我們在用數學模型來描述客觀規律時，對稱性也展示了獨特的魅力。

在建築設計中，建築師基於數學的思想，把對稱性之美髮揮到了極致，許多美輪美奐的建築都展現了數學模型的對稱之美。

1.4 數學模型的奇異之美

13 世紀的英國哲學家培根（Roger Bacon）說 ：“沒有一個極美的東西不是在勻稱中有著某些奇特。”“美在於奇特而令人驚異。”

奇異，從字面上理解，是特別的、突出的、新穎的、奇特的意思。 “奇異性”，也常常指人類社會不斷髮展過程中，出現的某些現代科學解答不了的事物。

數學模型的奇異美包括兩方面的內容 ：奇妙和變異。

關於奇妙——我們知道，數學中有許多的公式和結論非常神奇，神奇得令人驚歎！比如著名的歐拉公式 ：e iπ ＝ cosθ ＋ isinθ ，這裡 θ 是實數，如果取 θ ＝ π，得到一個被數學家公認的最美的公式 e iπ＋ 1 ＝ 0，它將數學中最重要的 5 個常數 ：0, 1, π, e, i,通過三種最基本的運算 ：加法運算、乘法運算、冪運算，聯繫在了一個式子裡，體現了分析、代數、幾何密不可分的曼妙。

關於變異——通常有兩種情形 ：

• 第一，可能是我們的判斷出了問題，沒有認清問題本質而導致了錯誤。
• 第二，因為與已知相悖，所以，激發起人們的探索慾望，產生了新的數學思想、數學方法和數學理論。這可以使我們聯想起數學的三大悖論。

數學模型的奇異美可以從三個方面來展示 ：

• 模型的新穎性——創新的模型具有重要的意義和研究的趣味 ；
• 方法的創造性——獨特的方法其本身就極其具有吸引力 ；
• 結果的奇妙性——當結果歷經千辛萬般苦，終於產生出來時，那種心跳的感覺，就如同見到了傾心的戀人。

1.5 數學模型的統一之美

新奇的效果可能由簡單產生，而新奇的理論又可能導致高度的統一。統一，是合為整體，或者說是指一致性。統一美反映的是審美對象在形式或內容上的某種共同性或關聯性。

龐加萊在《科學方法》一書中這樣闡明瞭他的美學思想 ：“數學的美感、數和形的和諧感、幾何學的雅緻感是一切真正的數學家都知道的真實的審美感。缺乏這種審美感的人永遠不會成為真正的創造者。”

數學模型的統一美就表現在 ：

• 建模目標的一致性——實際問題的客觀性決定了它的建模目標是不可分裂的 ；
• 數學模型的統一性——描述一個問題可能有不同的模型，但彼此之間常常會有著本質的聯繫。
• 計算結果的相近性——建立數學模型解決問題時，可能角度不同、方法不同，求解的路徑可能不同，但是，因為問題本身的規律性和客觀性，計算結果會在一定允許誤差範圍內驚人的相近。所謂條條大路通羅馬，殊途同歸。

2 優美的數學模型賞析

數學在執因溯果、以果尋因地解決人類面臨的各種問題時，正如蒂莫西 • 高爾斯（Timothy Gowers）所說 ：“對於數學，不要問它是什麼，而只要問它做什麼。這一抽象化的思考方法，將重點放在數學內部體系的相容性，強調新的數學概念、方法與內容，和已有的數學體系應自然地融為一體。”

可以說，沒有長時間的數學思維訓練，沒有廣博的數學知識，沒有一定的數學建模訓練，沒有對數學建模的美學思考，很難做出優美的數學模型。

談談對數。發現對數並建立這個函數模型，人們走過了離散（數列）- 連續（函數）的歷程。作為文藝復興時期數學的三大發現之一，對數模型結構簡單卻在計算和度量中極具魅力。許多的數學家，如納皮爾、歐拉、牛頓等都為對數的研究做出過貢獻。

伽利略說 ：“給我空間、時間和對數，我即可以創造一個宇宙。”

對數模型在現代數學的兩個重要概念“分數維和香農熵”的建立中發揮了重要作用。分形是由法國數學家曼德勃羅（Benoit Mandelbrot）於上世紀 70 年代提出的一個數學概念，用以描述自然界廣泛存在的具有“自相似”精細結構的現象。1975 年，曼德布洛特在他出版的專著《分形、機遇和維數》中，運用數學方法，藉助於計算機，模擬了自然界和科學研究中那些看似無規律的複雜問題，提出了分形幾何學這個新的數學理論。

所謂“分形藝術”，是通過分形理論和計算機軟件，把數學方程式轉化為精美絕倫的藝術圖畫。這一藝術創作方式搭起了數學與藝術的橋樑。分形藝術作品除了體現傳統美學的標準，如平衡、和諧、對稱等，還有超越這些標準的表現，如內在的自相似性，無限精細的嵌套結構等。

2. 1 分數維（Fractal Dimension）

在分形理論中，分數維是用來描述分形最主要的參量，簡稱分維，常用 D 表示。分數維的定義 ：設分形比為 b/a，則分數維由 D ＝ logb/loga 度量。

早在 1904 年，瑞典科學家科赫（Helge von Koch）做出了看上去就像是一片雪花似的科赫雪花曲線。作為一個分形圖，如果設科赫雪花曲線初始三角形的邊長是 1，每次變換後的長度都是原來長度的 4/3，那麼，它的維數就是 D ＝ 1.2618。

科赫雪花曲線

分形有兩個特徵 ：

• 一個是自相似性 ：局部與整體相似。將其細微部分放大後，其結構看起來仍與原先的一樣。似乎是一個東西在無數次自我複製。
• 另一個是無限的細緻性 ：保持自然物體無限細緻和複雜的特性。

分形可分為兩類 ：幾何分形、隨機分形。

我們可以在分形圖畫面的不同區域塗上不同的色彩，得到許多非常美麗神奇的畫面。

以茱莉亞集（Julia Set） Zn+1 = Zn2+C 為例。其中 ：初值 Zn 和參數 C 都是複數。在這個迭代中，由於初值 Zn 和參數 C 的不同取值以及隨機因素的引入，迭代規則可以千變萬化，生成元的形態多種多樣。

分形使得嚴肅的數學浪漫起來，以其多姿多彩的、美妙驚奇的畫面走進人們的生活。其豐富優美的圖形在產品設計、建築外牆裝飾、藝術牆紙、包裝設計、園林設計中都有廣泛的應用。各種結構新穎、造型獨特的分形圖形，把數學模型帶進人們的生活，讓人們可以切身感受到數學模型之美。

分形模型可以在計算機上由迭代產生。通過不同的迭代，可以形成謝爾賓斯基（Sierpinski）三角形、謝爾賓斯基四面體、謝爾賓斯基海綿（也叫謝爾賓斯基奶酪）等等，謝爾賓斯基海綿的構造思想還被我們的建築師運用到了建築設計中，使建築這種“人類從大自然暫時借來的空間”更加精彩紛呈，洋溢著數學的味道。

謝爾賓斯基海綿

2.2 信息熵（Information Entropy ）

作為對數的另一個應用，香農（Shannon, 1916-2001）建立了對信息量進行度量的熵模型。信息是對事物運動狀態或存在方式的不確定性的描述。給出一個信息源，即一個概率空間

根據元素的概率越大信息量會越小的特點，香農用對數關係先定義了自信息，再取數學期望而得到了信息量的熵模型。

在現代信息社會，數據對各行各業產生著深遠的影響。例如，我們可以通過數據分析學生成長環境、興趣愛好、能力特長等，從而對學生加深瞭解，因材施教。

以學生英語四級成績作為基本數據，通過設置類別屬性——優秀（Y），設置聽力成績、閱讀成績、寫作成績、綜合成績作為非類別屬性來對數據進行測試。例如，這裡可以對非類別屬性設置四個級別：優（A）、良（B）、中（C）、差（D）。設 Q 是有 s 個不同取值的離散屬性，劃分為 s 1 , s 2 , …s n 共 n 個子集，應用信息熵模型計算類別屬性（Y- 優秀）的信息量：

H(Y)= −∑ni−1pi log pi = 0.7834;

建立分割信息量公式 ：

Split(s,Q)= −∑ni−1 s i/s log2(s i/s );

建立信息增益率公式 ：

Gain_Ratio(s,Q)=Gain(s,Q)/Split(s,Q);

得到信息增益率 ：

Gain_Ratio（聽力，T）＝ 0.7077

Gain_Ratio（寫作，T）＝ 0.6705

Gain_Ratio（閱讀，T）＝ 0.6552

Gain_Ratio（綜合，T）＝ 0.6245

從這些數據能看出優秀的成績與聽力、寫作、閱讀、綜合有著什麼相關性呢？從信息增益率的結果可以看到，聽力所含的信息對類別屬性——優秀的影響最大。於是，就選擇聽力成績屬性作為決策樹的根屬性，建立定級和分類模型。依據於數據，可以得出結果：

• If listening ＝“A” then 類別＝“Y”；( 聽力成績為 A 時，英語四級優秀 ) ；
• If listening ＝“B”and writing ＝“A、B” then 類別＝“Y”；( 聽力成績為 B，寫作成績為 A、B 時，英語四級優秀 ) ；
• If listening ＝“B” and writing ＝“C” and reading ＝“C，D” then 類別＝“N”；( 聽力成績為 B，寫作成績為 C，閱讀成績為 C、D 時，英語四級一般 )，等等。

基於數據的英語四級成績相關性決策樹圖

通過數據建模，得到了樹圖結構，我們可以得到影響學生英語四級成績優秀率的因素，從而對聽力、寫作、閱讀、綜合能力有差異的學生提出如何提高英語學習效果的策略和建議。

這裡，香農的信息熵模型在解決數據建模問題時，方法簡單卻十分有效。

3 大數據時代數學建模範式的創新

隨著計算機技術的飛速發展，在“萬物皆數據，萬數有模型”的時代， “大數據”已經成為人們的熱門話題。大數據發展的動力來源於人類測量、記錄和分析世界的渴望。預計 2020 年，全球數據總量將達到 35-40ZB，大數據並不是一個充斥著算法和機器的冰冷世界，數學建模的作用依然十分重要。但是，我們面臨著數學建模範式的創新問題。

從這個意義上說，創新的數學模型最美。

範式最初是由美國著名科學哲學家庫恩（Thomas Samuel Kuhn）提出來的，指常規科學所賴以運作的理論基礎和實踐規範。

數據，是對某件事物的描述，文字、圖形、聲音、學生成績記錄等。數據就是可以用來記錄分析和重組的基本對象。現在，數據可以從任何地方提取出來。世間萬物可以數據化。量化一切，是數據化的核心。

舍恩伯格（Viktor Mayer-Schönberger）、庫克耶（Kenneth Cukier）在《大數據時代：生活、工作與思維的大變革》一書中指出 ：我們需要的是所有的數據，樣本＝總體 ；執迷於精確性是信息缺乏時代和模擬時代的產物，只有接受不精確性，我們才能打開一扇從未涉足的世界的窗戶；知道“是什麼”就夠了，我們沒必要知道“為什麼”，不是因果關係，而是相關關係。

在大數據時代，我們不必非得知道現象背後的原因，而是要讓數據自己“發聲”。大部分數據價值都是潛在的，需要通過創新性的分析才能釋放它們的價值。

相關關係可以幫助我們更好地瞭解這個世界。

數據建模可以使我們跨越單純進行解析求解的旅程。通過對數據進行處理和分析，用計算機進行模擬，最終的結果可能不是解析的，也不是精確的，但也能是足夠好且合理適用的，以能夠被我們想象的“眼睛”看到的“解的形式”表達出來。

我們面臨著許多需要創新的問題 ：

支持數據管理的工具和建模手段亟需完善 ；需要探索“數據採集、數據整理、數據分析、數據可視化”的新方式 ；需要數學、統計學、雲計算、仿真實驗、計算機數據庫等多方面的新理論體系、技術方法、應用實踐的聯動。

例如，我們一直用誤差刻畫精確度，那麼如何刻畫不精確度？我們可以對規模小的數據剔除奇異數據，那麼如何來掌控大數據的可信度呢？如何確定相關性準則呢？

一個成功的數學模型，如果它是美的，那麼首先就應該是真的、合理的，善的、有意義的，必須具有可靠性和適用性。但是，我們也不必過於追求完美。即使一個粗糙的數學模型也能幫助我們更好地理解一個實際的問題。因為建立數學模型時，我們一般受限制地考慮了各種邏輯關係，不含混地約定了所有的概念，並且區分了重要的和次要的因素。所以，一個數學模型即使導出了與事實不完全符合的結果，它也還可能是有價值的，因為一個模型的失敗常常可以幫助我們去尋找和建立更好的模型。

美是自然的一種最大的秘密，是宇宙萬物的精髓。數學模型之美恰恰是對客觀規律的一種折射，是數學的思想和精神之美，是人類創造性活動的展示，是對世界之美的表達。