中考數學必備知識點大全

1

中考數學知識點大全 第一章 實數 ................... 4

考點一、實數的概念及分類 ......... 4

考點二、實數的倒數、相反數和絕對值 ...... 4

考點三、平方根、算數平方根和立方根 ............. 5

考點四、科學記數法和近似數 .......... 5

考點五、實數大小的比較 ........... 5

考點六、實數的運算 （做題的基礎） ............. 6

第二章 代數式 ....................................... 7

考點一、整式的有關概念 ............. 7

考點二、多項式 ............... 7

考點三、因式分解 ................. 8

考點四、分式 ................... 8

考點五、二次根式 （初中數學基礎） .............. 9

第三章 方程（組） ............................... 10

考點一、一元一次方程的概念 .......................... 10

考點二、一元二次方程...

考點三、一元二次方程的解法 ........................................... 10

考點四、一元二次方程根的判別式 ................. 11

考點五、一元二次方程根與係數的關係 ..................... 11

考點六、分式方程 ....................... 11

考點七、二元一次方程組 ....................... 12

第四章 不等式（組） ............................................... 13

考點一、不等式的概念.......................................... 13

考點二、不等式基本性質 .............................. 13

考點三、一元一次不等式 .............................. 13

考點四、一元一次不等式組 ..................................... 13

第五章 統計初步與概率初步 ......................... 15

考點一、平均數 ....................................... 15

考點二、統計學中的幾個基本概念 .................. 15

考點三、眾數、中位數........................... 16

考點四、方差 ................................... 16

考點五、頻率分佈 ................. 17

考點六、確定事件和隨機事件 ........................ 17

2

考點七、隨機事件發生的可能性 ............................. 17

考點八、概率的意義與表示方法 ......................... 18

考點九、確定事件和隨機事件的概率之間的關係 ......... 18

考點十、古典概型 ................ 18

考點十一、列表法求概率 ..................... 18

考點十二、樹狀圖法求概率 ............. 19

考點十三、利用頻率估計概率 ...................................... 19

第六章 一次函數與反比例函數 ................................................ 20

考點一、平面直角座標系 .......................... 20

考點二、不同位置的點的座標的特徵 ....................... 20

考點三、函數及其相關概念 .............. 21

考點四、正比例函數和一次函數 ........ 22

考點五、反比例函數 .................................. 23

第七章 二次函數 ................................................ 25..

考點一、二次函數的概念和圖象 .......................... 25

考點二、二次函數的解析式 .............. 25

考點三、二次函數的最值 ............. 26

考點四、二次函數的圖像與性質 ................. 26

第八章 圖形的初步認識................................... 28

考點一、直線、射線和線段 ........................ 28

考點二、角 ......................... 29

考點三、相交線 ................ 30

考點四、平行線 ................. 31

考點五、命題、定理、證明 ............ 31

考點六、投影與視圖 ................... 32

第九章 三角形 ................................... 33

考點一、三角形 ............................. 33

考點二、全等三角形 ................... 34

考點三、等腰三角形 .............................. 35

第十章 四邊形 ...................................... 37

考點一、四邊形的相關概念 ...................... 37

考點二、平行四邊形 ................................ 37

考點三、矩形 ....................................... 38

考點四、菱形 ............................................. 38

考點五、正方形 ................................ 39

3

考點六、梯形 .................................... 39

第十一章 解直角三角形...................................... 41

考點一、直角三角形的性質 .................. 41

考點二、直角三角形的判定 .................... 41

考點三、銳角三角函數的概念 ......................... 42

考點四、解直角三角形............................... 42

第十二章 圓 ....................... 44

考點一、圓的相關概念..................... 44

考點二、弦、弧等與圓有關的定義 .......... 44

考點三、垂徑定理及其推論 ................. 44

考點四、圓的對稱性 ...................... 45

考點五、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關係定理......................... 45

考點六、圓周角定理及其推論 ................. 45

考點七、點和圓的位置關係 ........... 45

考點八、過三點的圓 ................ 45

考點九、反證法 ..................... 46

考點十、直線與圓的位置關係 ............................................ 46

考點十一、切線的判定和性質 ............................. 46

考點十二、切線長定理............................. 46

考點十三、三角形的內切圓 ............................................ 46

考點十四、圓和圓的位置關係 ............................. 47

考點十五、正多邊形和圓 ................................ 47

考點十六、與正多邊形有關的概念 .................................................... 47

考點十七、正多邊形的對稱性 ................................................ 48

考點十八、弧長和扇形面積 .......................................... 48

第十三章 圖形的變換 .................................... 50

考點一、平移 ............................................. 50

考點二、軸對稱 ...................................... 50

考點三、旋轉 ............................................. 50

考點四、中心對稱 .................................... 51

考點五、座標系中對稱點的特徵 ...................... 51

第十四章 圖形的相似 ................ 52

考點一、比例線段 ....................... 52

考點二、平行線分線段成比例定理 ................. 53

考點三、相似三角形 ................................ 53

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第一章 實數

考點一、實數的概念及分類

1、實數的分類

正有理數

有理數 零 有限小數和無限循環小數

實數 負有理數

正無理數

無理數 無限不循環小數

負無理數

2、無理數

在理解無理數時，要抓住"無限不循環"這一實質，歸納起來有四類：

（1）開方開不盡的數，如 7, 23 等；

（2）有特定意義的數，如圓周率 π，或化簡後含有 π 的數，如π

3+8 等；

（3）有特定結構的數，如 0.1010010001…等；

（4）某些三角函數，如 sin60o等

考點二、實數的倒數、相反數和絕對值

1、相反數

實數與它的相反數是一對數（只有符號不同的兩個數叫做互為相反數，零的相反數是零），從數軸上看，互為

相反數的兩個數所對應的點關於原點對稱，如果 a 與 b 互為相反數，則有 a+b=0，a=—b，反之亦成立。

2、絕對值

一個數的絕對值就是表示這個數的點與原點的距離，|a|≥0。零的絕對值是它本身，也可看成它的相反數，若|a|=a，

則 a≥0；若|a|=-a，則 a≤0。正數大於零，負數小於零，正數大於一切負數，兩個負數，絕對值大的反而小。

3、倒數

如果 a 與 b 互為倒數，則有 ab=1，反之亦成立。倒數等於本身的數是 1 和-1，零沒有倒數。

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考點三、平方根、算數平方根和立方根

1、平方根

如果一個數的平方等於 a，那麼這個數就叫做 a 的平方根（或二次方跟）。

一個數有兩個平方根，他們互為相反數；零的平方根是零；負數沒有平方根。

正數 a 的平方根記做" a "。

2、算術平方根

正數 a 的正的平方根叫做 a 的算術平方根，記作" a "。

正數和零的算術平方根都只有一個，零的算術平方根是零。

a （ a  0） a  0

2a a  ；注意 a 的雙重非負性：

- a （a <0） a  0

3、立方根

如果一個數的立方等於 a，那麼這個數就叫做 a 的立方根（或 a 的三次方根）。

一個正數有一個正的立方根；一個負數有一個負的立方根；零的立方根是零。

注意：   a a3 3 ，這說明三次根號內的負號可以移到根號外面。

考點四、科學記數法和近似數

1、有效數字

一個近似數四捨五入到哪一位，就說它精確到哪一位，這時，從左邊第一個不是零的數字起到右邊精確的數位

止的所有數字，都叫做這個數的有效數字。

2、科學記數法

把一個數寫做 10a n 的形式，其中 a 1 10 ，n 是整數，這種記數法叫做科學記數法。

考點五、實數大小的比較

1、數軸

規定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸（畫數軸時，要注意上述規定的三要素缺一不可）。

解題時要真正掌握數形結合的思想，理解實數與數軸的點是一一對應的，並能靈活運用。

2、實數大小比較的幾種常用方法

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（1）數軸比較：在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大。

（2）求差比較：設 a、b 是實數，

   a b a b0 ,    a b a b0 , 0   a b a b

（3）求商比較法：設 a、b 是兩正實數，         a

ba b

a

ba b

a

ba b1 ; 1 ; 1 ;

（4）絕對值比較法：設 a、b 是兩負實數，則   a b a b 。

（5）平方法：設 a、b 是兩負實數，則 2 2  a b a b。

考點六、實數的運算 （做題的基礎）

1、加法交換律   a b b a

2、加法結合律     a b c a b c( ) ( )

3、乘法交換律 ab ba

4、乘法結合律 ab c a bc( ) ( )

5、乘法對加法的分配律 ( )  a b c ab ac

6、實數的運算順序

先算乘方，再算乘除，最後算加減，如果有括號，就先算括號裡面的。

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第二章 代數式

考點一、整式的有關概念

1、代數式

用運算符號把數或表示數的字母連接而成的式子叫做代數式。單獨的一個數或一個字母也是代數式。

2、單項式

只含有數字與字母的積的代數式叫做單項式。

注意：單項式是由係數、字母、字母的指數構成的，其中係數不能用帶分數表示，如 41

3

2a b，這種表示就是錯

誤的，應寫成13

3

2a b。一個單項式中，所有字母的指數的和叫做這個單項式的次數。如 5 3 2a b c是 6 次單項式。

考點二、多項式

1、多項式

幾個單項式的和叫做多項式。其中每個單項式叫做這個多項式的項。多項式中不含字母的項叫做常數項。多項

式中次數最高的項的次數，叫做這個多項式的次數。

單項式和多項式統稱整式。

用數值代替代數式中的字母，按照代數式指明的運算，計算出結果，叫做代數式的值。

注意：（1）求代數式的值，一般是先將代數式化簡，然後再將字母的取值代入。

（2）求代數式的值，有時求不出其字母的值，需要利用技巧，"整體"代入。

2、同類項

所有字母相同，並且相同字母的指數也分別相同的項叫做同類項。幾個常數項也是同類項。

3、去括號法則

（1）括號前是"+"，把括號和它前面的"+"號一起去掉，括號裡各項都不變號。

（2）括號前是"﹣"，把括號和它前面的"﹣"號一起去掉，括號裡各項都變號。

4、整式的運算法則

整式的加減法：（1）去括號；（2）合併同類項。

整式的乘法：  m n m na a a m n都是正整數( , )

m n mna a m n（ ） 都是正整數( , ) n n nab a b n都是正整數( ) ( )

   a b a b a b( )( )2 2

   a b a ab b( ) 22 2 2

   a b a ab b( ) 22 2 2

整式的除法： 都是正整數m n m na a a m n a  ( , , 0)

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注意：（1）單項式乘單項式的結果仍然是單項式。

（2）單項式與多項式相乘，結果是一個多項式，其項數與因式中多項式的項數相同。

（3）計算時要注意符號問題，多項式的每一項都包括它前面的符號，同時還要注意單項式的符號。

（4）多項式與多項式相乘的展開式中，有同類項的要合併同類項。

（5）公式中的字母可以表示數，也可以表示單項式或多項式。

（6）    pp

a a aa

a p為正整數0 1( 0);1

( 0, )

（7）多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加，單項式除以

多項式是不能這麼計算的。

考點三、因式分解

1、因式分解

把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式。

2、因式分解的常用方法

（1）提公因式法：   ab ac a b c( )

（2）運用公式法：    a b a b a b2 2 ( )( )    a ab b a b2 ( )2 2 2    a ab b a b2 ( )2 2 2

（3）分組分解法：          ac ad bc bd a c d b c d a b c d( ) ( ) ( )( )

（4）十字相乘法：      a p q a pq a p a q2 ( ) ( )( )

3、因式分解的一般步驟：

（1）如果多項式的各項有公因式，那麼先提取公因式。

（2）在各項提出公因式以後或各項沒有公因式的情況下，觀察多項式的項數：2 項式可以嘗試運用公式法分

解因式；3 項式可以嘗試運用公式法、十字相乘法分解因式；4 項式及 4 項式以上的可以嘗試分組分解法分解因式

（3）分解因式必須分解到每一個因式都不能再分解為止。

考點四、分式

1、分式的概念

一般地，用 A、B 表示兩個整式，A÷B 就可以表示成A

B的形式，如果 B 中含有字母，式子

A

B就叫做分式。

其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。分式和整式通稱為有理式。

2、分式的性質

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（1）分式的基本性質：

分式的分子和分母都乘以（或除以）同一個不等於零的整式，分式的值不變。

（2）分式的變號法則：

分式的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變。

3、分式的運算法則

     a

b

c

d

ac

bd

a

b

c

d

a

b

d

c

ad

bc; ; 

nn

n

a

b

a

bn為整數( ) ( );  

a

c

b

c

a b

c;  

a

b

c

d

ad bc

bd

考點五、二次根式 （初中數學基礎）

1、二次根式

式子 a a ( 0)叫做二次根式，二次根式必須滿足：含有二次根號" "；被開方數 a 必須是非負數。

2、最簡二次根式

若二次根式滿足：被開方數的因數是整數，因式是整式；被開方數中不含能開得盡方的因數或因式，這樣的二

次根式叫做最簡二次根式。

化二次根式為最簡二次根式的方法和步驟：

（1）如果被開方數是分數（包括小數）或分式，先利用商的算數平方根的性質把它寫成分式的形式，然後利

用分母有理化進行化簡。

（2）如果被開方數是整數或整式，先將他們分解因數或因式，然後把能開得盡方的因數或因式開出來。

3、同類二次根式

幾個二次根式化成最簡二次根式以後，如果被開方數相同，這幾個二次根式叫做同類二次根式。

4、二次根式的性質

（1） a a a 2( ) ( 0)

a a ( 0)

（2）2a a 

a a ( 0)

（3） ab a b a b   ( 0, 0) （4）a

b

a

ba b  ( 0, 0)

5、二次根式混合運算

二次根式的混合運算與實數中的運算順序一樣，先乘方，再乘除，最後加減，有括號的先算括號裡的（或先去

括號）。

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第三章 方程（組）

考點一、一元一次方程的概念

1、方程：含有未知數的等式叫做方程。

2、方程的解：能使方程兩邊相等的未知數的值叫做方程的解。

3、等式的性質

（1）等式的兩邊都加上（或減去）同一個數或同一個整式，所得結果仍是等式。

（2）等式的兩邊都乘以（或除以）同一個數（除數不能是零），所得結果仍是等式。

4、一元一次方程

只含有一個未知數，並且未知數的最高次數是 1 的整式方程叫做一元一次方程，其中方程

ax b  0 x a 0（ 為未知數， ）叫做一元一次方程的標準形式，a 是未知數 x 的係數，b 是常數項。

考點二、一元二次方程

1、一元二次方程

只含有一個未知數，並且未知數的最高次數是 2 的整式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式

ax bx c a   2 0( 0)，它的特徵是：等式左邊是一個關於未知數 x 的二次多項式，等式右邊是零，其中ax2

叫做二次項，a 叫做二次項係數；bx 叫做一次項，b 叫做一次項係數；c 叫做常數項。

考點三、一元二次方程的解法

1、直接開平方法

利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法。直接開平方法適用於解形如

( )2 x a b 的一元二次方程。根據平方根的定義可知， x a 是 b 的平方根，當 b  0 時，   x a b ，

  x a b ，當 b

2、配方法

配方法是一種重要的數學方法，它不僅在解一元二次方程上有所應用，而且在數學的其他領域也有著廣泛的應

用。配方法的理論根據是完全平方公式    a ab b a b2 ( )2 2 2

，把公式中的 a 看做未知數 x，並用 x 代替，則有

   x bx b x b2 ( )2 2 2 。

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3、公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程ax bx c a   2 0( 0)的求根公式： xb b ac

ab ac

   

224

2( 4 0)

4、因式分解法

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡單易行，是解一元二次方程最常用的

方法。

考點四、一元二次方程根的判別式

根的判別式

一元二次方程ax bx c a   2 0( 0)中， 2 4b ac叫做一元二次方程ax bx c a   2 0( 0)的根的判別式，

通常用""來表示，即  2 4b ac （1）當△>0 時，方程有兩個不相等的實數根；

（2）當△=0 時，方程有兩個相等的實數根；

（3）當△<0 時，方程沒有實數根。

考點五、一元二次方程根與係數的關係

如果方程ax bx c a   2 0( 0)的兩個實數根是 ，x x1 2，那麼 1 2  x xb

a，

1 2 x xc

a。也就是說，對於

任何一個有實數根的一元二次方程，兩根之和等於方程的一次項係數除以二次項係數所得的商的相反數；兩根之積

等於常數項除以二次項係數所得的商。

考點六、分式方程

1、分式方程

分母裡含有未知數的方程叫做分式方程。

2、分式方程的一般方法

解分式方程的思想是將"分式方程"轉化為"整式方程"。它的一般解法是：

（1）去分母，方程兩邊都乘以最簡公分母

（2）解所得的整式方程

（3）驗根：將所得的根代入最簡公分母，若等於零，就是增根，應該捨去；若不等於零，就是原方程的根。

3、分式方程的特殊解法

換元法：

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換元法是中學數學中的一個重要的數學思想，其應用非常廣泛，當分式方程具有某種特殊形式，一般的去分母

不易解決時，可考慮用換元法。

考點七、二元一次方程組

1、二元一次方程

含有兩個未知數，並且未知項的最高次數是 1 的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是（

2、二元一次方程的解

使二元一次方程左右兩邊的值相等的一對未知數的值，叫做二元一次方程的一個解。

3、二元一次方程組

兩個（或兩個以上）二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組。

4 二元一次方程組的解

使二元一次方程組的兩個方程左右兩邊的值都相等的兩個未知數的值，叫做二元一次方程組的解。

5、二元一次方正組的解法

（1）代入法（2）加減法

6、三元一次方程

把含有三個未知數，並且含有未知數的項的次數都是 1 的整式方程。

7、三元一次方程組

由三個（或三個以上）一次方程組成，並且含有三個未知數的方程組，叫做三元一次方程組。

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第四章 不等式（組）

考點一、不等式的概念

1、不等式

用不等號表示不等關係的式子，叫做不等式。

2、不等式的解集

對於一個含有未知數的不等式，任何一個適合這個不等式的未知數的值，都叫做這個不等式的解。

對於一個含有未知數的不等式，它的所有解的集合叫做這個不等式的解的集合，簡稱這個不等式的解集。

求不等式的解集的過程，叫做解不等式。

3、用數軸表示不等式的方法

考點二、不等式基本性質

1、不等式兩邊都加上（或減去）同一個數或同一個整式，不等號的方向不變。

2、不等式兩邊都乘以（或除以）同一個正數，不等號的方向不變。

3、不等式兩邊都乘以（或除以）同一個負數，不等號的方向改變。

考點三、一元一次不等式

1、一元一次不等式的概念

一般地，不等式中只含有一個未知數，未知數的次數是 1，且不等式的兩邊都是整式，這樣的不等式叫做一元

一次不等式。

2、一元一次不等式的解法

解一元一次不等式的一般步驟：

（1）去分母（2）去括號（3）移項（4）合併同類項（5）將 x 項的係數化為 1

考點四、一元一次不等式組

1、一元一次不等式組的概念

幾個一元一次不等式合在一起，就組成了一個一元一次不等式組。

幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它們所組成的一元一次不等式組的解集。

求不等式組的解集的過程，叫做解不等式組。

當任何數 x 都不能使不等式同時成立，我們就說這個不等式組無解或其解為空集。

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2、一元一次不等式組的解法

（1）分別求出不等式組中各個不等式的解集

（2）利用數軸求出這些不等式的解集的公共部分，即這個不等式組的解集。

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第五章 統計初步與概率初步

考點一、平均數

1、平均數的概念

（1）平均數：一般地，如果有 n 個數 x x xn1 2, , , ,那麼，    xn

x x xn1 21

( ) 叫做這 n 個數的平均數，

x 讀作"x 拔"。

（2）加權平均數：如果 n 個數中， x1出現 f1次，x2 出現 f 2 次，…，xk 出現 f k 次（這裡 1 2   kf f f n ），

那麼，根據平均數的定義，這 n 個數的平均數可以表示為 1 1 2 2  k kx

x f x f x f

n，這樣求得的平均數 x 叫做加

權平均數，其中 1 2, , ,f f f k 叫做權。

2、平均數的計算方法

（1）定義法

當所給數據 x x xn1 2, , , ,比較分散時，一般選用定義公式：    xn

x x xn1 21

( )

（2）加權平均數法：

當所給數據重複出現時，一般選用加權平均數公式： 1 1 2 2  k kx

x f x f x f

n，其中 1 2   kf f f n 。

（3）新數據法：

當所給數據都在某一常數 a 的上下波動時，一般選用簡化公式： ' x x a 。

其中，常數 a 通常取接近這組數據平均數的較"整"的數， '1 1 x x a ， '2 2 x x a，…， '  n nx x a 。

   xn

x x x n1 2'1

( ' ' ' )是新數據的平均數（通常把 x x xn1 2, , , ,叫做原數據， x x x n1 2' , ' , , ' ,叫做新數據）。

考點二、統計學中的幾個基本概念

1、總體：所有考察對象的全體叫做總體。

2、個體：總體中每一個考察對象叫做個體。

3、樣本：從總體中所抽取的一部分個體叫做總體的一個樣本。

4、樣本容量：樣本中個體的數目叫做樣本容量。

5、樣本平均數：樣本中所有個體的平均數叫做樣本平均數。

6、總體平均數：總體中所有個體的平均數叫做總體平均數，在統計中，通常用樣本平均數估計總體平均數。

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考點三、眾數、中位數

1、眾數

在一組數據中，出現次數最多的數據叫做這組數據的眾數。

2、中位數

將一組數據按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數據（或最中間兩個數據的平均數）叫做這組數據的中

位數。

考點四、方差

1、方差的概念

在一組數據 x x xn1 2, , , ,中，各數據與它們的平均數 x 的差的平方的平均數，叫做這組數據的方差。通常用

" s 2 "表示，即：       nsn

x x x x x x2 12

2

2 21 [( ) ( ) ( ) ]

2、方差的計算

（1）基本公式：

      nsn

x x x x x x2 12

2

2 21 [( ) ( ) ( ) ]

（2）簡化計算公式（Ⅰ）：

    nsn

x x x nx2 12

2

2 2 21 [( ) ]，也可寫成     nsn

x x x x1

[( )]2 12

2

2 2 2

此公式的記憶方法是：方差等於原數據平方的平均數減去平均數的平方。

（3）簡化計算公式（Ⅱ）：     nsn

x x x nx2 12

2

2 2 21 [( ' ' ' ) ' ]

當一組數據中的數據較大時，可以依照簡化平均數的計算方法，將每個數據同時減去一個與它們的平均數接

近的常數 a，得到一組新數據 '1 1 x x a ， '2 2 x x a，…， '  n nx x a ，那麼，     nsn

x x x x1

[( ' ' ' )] '2 12

2

2 2 2

此公式的記憶方法是：方差等於新數據平方的平均數減去新數據平均數的平方。

（4）新數據法：

原數據 x x xn1 2, , , ,的方差與新數據 '1 1 x x a ， '2 2 x x a，…， '  n nx x a 的方差相等，也就是說，

根據方差的基本公式，求得 x x x n1 2' , ' , , ' ,的方差就等於原數據的方差。

3、標準差

方差的算數平方根叫做這組數據的標準差，用"s"表示，即        ns sn

x x x x x x2 12

2

2 21 [( ) ( ) ( ) ]

17

考點五、頻率分佈

1、頻率分佈的意義

在許多問題中，只知道平均數和方差還不夠，還需要知道樣本中數據在各個小範圍所佔的比例的大小，這就需

要研究如何對一組數據進行整理，以便得到它的頻率分佈。

2、研究頻率分佈的一般步驟及有關概念

（1）研究樣本的頻率分佈的一般步驟是：

①計算極差（最大值與最小值的差）

②決定組距與組數

③決定分點

④列頻率分佈表

⑤畫頻率分佈直方圖

（2）頻率分佈的有關概念

①極差：最大值與最小值的差

②頻數：落在各個小組內的數據的個數

③頻率：每一小組的頻數與數據總數（樣本容量 n）的比值叫做這一小組的頻率。

考點六、確定事件和隨機事件

1、確定事件

必然發生的事件：在一定的條件下重複進行試驗時，在每次試驗中必然會發生的事件。

不可能發生的事件：有的事件在每次試驗中都不會發生，這樣的事件叫做不可能的事件。

2、隨機事件：

在一定條件下，可能發生也可能不放聲的事件，稱為隨機事件。

考點七、隨機事件發生的可能性

一般地，隨機事件發生的可能性是有大小的，不同的隨機事件發生的可能性的大小有可能不同。

對隨機事件發生的可能性的大小，我們利用反覆試驗所獲取一定的經驗數據可以預測它們發生機會的大小。

要評判一些遊戲規則對參與遊戲者是否公平，就是看它們發生的可能性是否一樣。所謂判斷事件可能性是否相同，

就是要看各事件發生的可能性的大小是否一樣，用數據來說明問題。

18

考點八、概率的意義與表示方法

1、概率的意義

一般地，在大量重複試驗中，如果事件 A 發生的頻率n

m會穩定在某個常數 p 附近，那麼這個常數 p 就叫做事

件 A 的概率。

2、事件和概率的表示方法

一般地，事件用英文大寫字母 A，B，C，…，表示事件 A 的概率 p，可記為 P（A）=P

考點九、確定事件和隨機事件的概率之間的關係

1、確定事件概率

（1）當 A 是必然發生的事件時，P（A）=1

（2）當 A 是不可能發生的事件時，P（A）=0

2、確定事件和隨機事件的概率之間的關係

事件發生的可能性越來越小

0 1 概率的值

不可能發生 必然發生

事件發生的可能性越來越大

考點十、古典概型

1、古典概型的定義

某個試驗若具有：①在一次試驗中，可能出現的結構有有限多個；②在一次試驗中，各種結果發生的可能性相

等。我們把具有這兩個特點的試驗稱為古典概型。

2、古典概型的概率的求法

一般地，如果在一次試驗中，有 n 種可能的結果，並且它們發生的可能性都相等，事件 A 包含其中的 m 中結

果，那麼事件 A 發生的概率為 P（A）=m

n

考點十一、列表法求概率

1、列表法

用列出表格的方法來分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。

19

2、列表法的應用場合

當一次試驗要設計兩個因素， 並且可能出現的結果數目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結果，通常採

用列表法。

考點十二、樹狀圖法求概率

1、樹狀圖法

就是通過列樹狀圖列出某事件的所有可能的結果，求出其概率的方法叫做樹狀圖法。

2、運用樹狀圖法求概率的條件

當一次試驗要設計三個或更多的因素時，用列表法就不方便了，為了不重不漏地列出所有可能的結果，通常採

用樹狀圖法求概率。

考點十三、利用頻率估計概率

1、利用頻率估計概率

在同樣條件下，做大量的重複試驗，利用一個隨機事件發生的頻率逐漸穩定到某個常數，可以估計這個事件發

生的概率。

2、在統計學中，常用較為簡單的試驗方法代替實際操作中複雜的試驗來完成概率估計，這樣的試驗稱為模擬

實驗。

3、隨機數

在隨機事件中，需要用大量重複試驗產生一串隨機的數據來開展統計工作。把這些隨機產生的數據稱為隨機

數。

20

第六章 一次函數與反比例函數

考點一、平面直角座標系

1、平面直角座標系

在平面內畫兩條互相垂直且有公共原點的數軸，就組成了平面直角座標系。

其中，水平的數軸叫做 x 軸或橫軸，取向右為正方向；鉛直的數軸叫做 y 軸或縱軸，取向上為正方向；兩軸的

交點 O（即公共的原點）叫做直角座標系的原點；建立了直角座標系的平面，叫做座標平面。

為了便於描述座標平面內點的位置，把座標平面被 x 軸和 y 軸分割而成的四個部分，分別叫做第一象限、第

二象限、第三象限、第四象限。

注意：x 軸和 y 軸上的點，不屬於任何象限。

2、點的座標的概念

點的座標用（a，b）表示，其順序是橫座標在前，縱座標在後，中間有"，"分開，橫、縱座標的位置不能顛

倒。平面內點的座標是有序實數對，當 a b 時，（a，b）和（b，a）是兩個不同點的座標。

考點二、不同位置的點的座標的特徵

1、各象限內點的座標的特徵

點 P(x,y)在第一象限 x y  0, 0；點 P(x,y)在第二象限 x y  0, 0；

點 P(x,y)在第三象限 x y  0, 0；點 P(x,y)在第四象限 x y  0, 0。

2、座標軸上的點的特徵

點 P(x,y)在 x 軸上 y  0，x 為任意實數；點 P(x,y)在 y 軸上 x  0，y 為任意實數；

點 P(x,y)既在 x 軸上，又在 y 軸上 x，y 同時為零，即點 P 座標為（0，0）

3、兩條座標軸夾角平分線上點的座標的特徵

點 P(x,y)在第一、三象限夾角平分線上 x 與 y 相等

點 P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上 x 與 y 互為相反數

4、和座標軸平行的直線上點的座標的特徵

位於平行於 x 軸的直線上的各點的縱座標相同。

位於平行於 y 軸的直線上的各點的橫座標相同。

5、關於 x 軸、y 軸或遠點對稱的點的座標的特徵

點 P 與點 p'關於 x 軸對稱橫座標相等，縱座標互為相反數

【施老闆-10 年中考研究-精心整理】

21

點 P 與點 p'關於 y 軸對稱縱座標相等，橫座標互為相反數

點 P 與點 p'關於原點對稱橫、縱座標均互為相反數

6、點到座標軸及原點的距離

點 P(x,y)到座標軸及原點的距離：

（1）點 P(x,y)到 x 軸的距離等於 y ；（2）點 P(x,y)到 y 軸的距離等於 x

（3）點 P(x,y)到原點的距離等於 x y2 2

考點三、函數及其相關概念

1、變量與常量

在某一變化過程中，可以取不同數值的量叫做變量，數值保持不變的量叫做常量。

一般地，在某一變化過程中有兩個變量 x 與 y，如果對於 x 的每一個值，y 都有唯一確定的值與它對應，那麼

就說 x 是自變量，y 是 x 的函數。

2、函數解析式

用來表示函數關係的數學式子叫做函數解析式或函數關係式。

使函數有意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值範圍。

3、函數的三種表示法及其優缺點

（1）解析式法

兩個變量間的函數關係，有時可以用一個含有這兩個變量及數字運算符號的等式表示，這種表示法叫做解析

法。

（2）列表法

把自變量 x 的一系列值和函數 y 的對應值列成一個表來表示函數關係，這種表示法叫做列表法。

（3）圖象法

用圖像表示函數關係的方法叫做圖象法。

4、由函數解析式畫其圖象的一般步驟

（1）列表：列表給出自變量與函數的一些對應值

（2）描點：以表中每對對應值為座標，在座標平面內描出相應的點

（3）連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點用平滑的曲線連接起來。

22

考點四、正比例函數和一次函數

1、正比例函數和一次函數的概念

一般地，如果  y kx b （k，b 是常數，k 0），那麼 y 叫做 x 的一次函數。

特別地，當一次函數  y kx b 中的 b 為 0 時， y kx（k 為常數，k 0）。這時，y 叫做 x 的正比例函數。

2、一次函數的圖象

所有一次函數的圖象都是一條直線

3、一次函數、正比例函數圖象的主要特徵：

一次函數  y kx b 的圖象是經過點（0，b）的直線；正比例函數 y kx的圖象是經過原點（0，0）的直線

k 的符號 b 的符號 函數圖象 圖象特徵

k>0

b>0

y

0 x

圖象經過一、二、三象限，y 隨 x 的

增大而增大。

b

y

0 x

圖象經過一、三、四象限，y 隨 x 的

增大而增大。

K

b>0

0 x

圖象經過一、二、四象限，y 隨 x 的

增大而減小。

23

b

y

0 x

圖象經過二、三、四象限，y 隨 x 的

增大而減小。

注：當 b=0 時，一次函數變為正比例函數，正比例函數是一次函數的特例。

4、正比例函數的性質

一般地，正比例函數 y kx有下列性質：

（1）當 k>0 時，圖象經過第一、三象限，y 隨 x 的增大而增大；

（2）當 k<0 時，圖象經過第二、四象限，y 隨 x 的增大而減小。

5、一次函數的性質

一般地，一次函數  y kx b 有下列性質：

（1）當 k>0 時，y 隨 x 的增大而增大；（2）當 k<0 時，y 隨 x 的增大而減小

6、正比例函數和一次函數解析式的確定

確定一個正比例函數，就是要確定正比例函數定義式 y kx（k 0）中的常數 k。確定一個一次函數，需要確

定一次函數定義式  y kx b （k 0）中的常數 k 和 b。解這類問題的一般方法是待定係數法。

考點五、反比例函數

1、反比例函數的概念

一般地，函數 yk

x（k 是常數，k 0）叫做反比例函數。反比例函數的解析式也可以寫成 y kx 1的形式。

自變量 x 的取值範圍是 x 0 的一切實數，函數的取值範圍也是一切非零實數。

2、反比例函數的圖象

反比例函數的圖象是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位於第一、三象限，或第二、四象限，它們關於

原點對稱。由於反比例函數中自變量 x 0，函數 y 0，所以，它的圖象與 x 軸、y 軸都沒有交點，即雙曲線的兩

個分支無限接近座標軸，但永遠達不到座標軸。

24

3、反比例函數的性質

反比例

函數 y

k

xk ( 0)

k 的符號 k>0 k

圖象

y

O x

y

O x

性質

①x 的取值範圍是 x 0，

y 的取值範圍是 y 0

②當 k>0 時，函數圖象的兩個分支分別

在第一、三象限。在每一象限內，y

隨 x 的增大而減小。

①x 的取值範圍是 x 0，

y 的取值範圍是 y 0；

②當 k<0 時，函數圖象的兩個分支分別

在第二、四象限。在每一象限內，y

隨 x 的增大而增大。

4、反比例函數解析式的確定

確定解析式的方法仍是待定係數法。由於在反比例函數 yk

x中，只有一個待定係數，因此只需要一對對應

值或圖像上的一個點的座標，即可求出 k 的值，從而確定其解析式。

5、反比例函數中反比例係數的幾何意義

如下圖，過反比例函數 yk

xk ( 0)圖像上任一點 P 作 x 軸、y 軸的垂線 PM，PN，則所得的矩形 PMON 的

面積 S=PM PN=  y x xy 。  , ,   yk

xxy k S k 。

25

第七章 二次函數

考點一、二次函數的概念和圖象

1、二次函數的概念

一般地，如果 是常數，y ax bx c a b c a   2 ( , , 0)，那麼 y 叫做 x 的二次函數。

是常數，y ax bx c a b c a   2 ( , , 0)叫做二次函數的一般式。

2、二次函數的圖象

二次函數的圖象是一條關於  2

xb

a對稱的曲線，這條曲線叫拋物線。

拋物線的主要特徵：

①有開口方向；②有對稱軸；③有頂點。

3、二次函數圖象的畫法

五點法：

（1）先根據函數解析式，求出頂點座標，在平面直角座標系中描出頂點 M，並用虛線畫出對稱軸

（2）求拋物線2  y ax bx c 與座標軸的交點：

當拋物線與 x 軸有兩個交點時，描出這兩個交點 A,B 及拋物線與 y 軸的交點 C，再找到點 C 的對稱點 D。將

這五個點按從左到右的順序連接起來，並向上或向下延伸，就得到二次函數的圖象。

當拋物線與 x 軸只有一個交點或無交點時，描出拋物線與 y 軸的交點 C 及對稱點 D。由 C、M、D 三點可粗

略地畫出二次函數的草圖。如果需要畫出比較精確的圖象，可再描出一對對稱點 A、B，然後順次連接五點，畫出

二次函數的圖象。

考點二、二次函數的解析式

二次函數的解析式有三種形式：

（1）一般式： 是常數，y ax bx c a b c a   2 ( , , 0)

（2）頂點式： 是常數，y a x h k a h k a   2( ) ( , , 0)

（3）當拋物線2  y ax bx c 與 x 軸有交點時，即對應二次好方程ax bx c  2 0有實根 x1和 x2 存在時，

根據二次三項式的分解因式     ax bx c a x x x x2

1 2( )( ) ，二次函數2  y ax bx c 可轉化為兩根式

  y a x x x x1 2( )( )。如果沒有交點，則不能這樣表示。

26

考點三、二次函數的最值

如果自變量的取值範圍是全體實數，那麼函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當  2

xb

a時，

最值  24

4y

ac b

a。

如果自變量的取值範圍是  x x x1 2，那麼，首先要看2

b

a是否在自變量取值範圍  x x x1 2內，若在此範

圍內，則當 x=2

b

a時，

最值  24

4y

ac b

a；若不在此範圍內，則需要考慮函數在  x x x1 2範圍內的增減性，如

果在此範圍內，y 隨 x 的增大而增大，則當 x x2 時， 最大 22

2  y ax bx c ，當 x x1時， 最小 12

1  y ax bx c；

如果在此範圍內，y 隨 x 的增大而減小，則當 x x1時， 最大 12

1  y ax bx c，當 x x2 時， 最小 22

2  y ax bx c。

考點四、二次函數的圖像與性質

1、二次函數的性質

函數 二次函數

是常數，y ax bx c a b c a   2 ( , , 0)

圖像

a>0 a

性質

（1）拋物線開口向上，並向上無限延伸；

（2）對稱軸是 x=2

b

a，頂點座標是（

2

b

a，

 24

4

ac b

a）；

（3）在對稱軸的左側，即當 x

b

a時，y 隨 x

的增大而減小；在對稱軸的右側，即當 x>

2

b

a時，y 隨 x 的增大而增大，簡記左減右

增；

（1）拋物線開口向下，並向下無限延伸；

（2）對稱軸是 x=2

b

a，頂點座標是（

2

b

a，

 24

4

ac b

a）；

（3）在對稱軸的左側，即當 x

b

a時，y 隨 x

的增大而增大；在對稱軸的右側，即當 x>

2

b

a時，y 隨 x 的增大而減小，簡記左增

右減；

27

（4）拋物線有最低點，當 x=2

b

a時，y 有最小

值，最小值 

 24

4y

ac b

a

（4）拋物線有最高點，當 x=2

b

a時，y 有最

大值，最大值 

 24

4y

ac b

a

2、二次函數 是常數，y ax bx c a b c a   2 ( , , 0)中，a、 、b c的含義：

a 表示開口方向：a >0 時，拋物線開口向上

a <0 時，拋物線開口向下

b 與對稱軸有關：對稱軸為 x=2

b

a

c 表示拋物線與 y 軸的交點座標：（0，c ）

3、二次函數與一元二次方程的關係

一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與 x 軸的交點座標。

因此一元二次方程中的  2b 4ac，在二次函數中表示圖像與 x 軸是否有交點。

當>0 時，圖像與 x 軸有兩個交點；

當=0 時，圖像與 x 軸有一個交點；

當<0 時，圖像與 x 軸沒有交點。 B

補充：

1、兩點間距離公式。如圖：點 A 座標為（x1，y1）點 B 座標為（x2，y2）

則 AB 間的距離，即線段 AB 的長度為   x x y y1 22

1 2

2 A 0 x

2、函數平移規律（中考試題中，只佔 3 分，但掌握這個知識點，對提高答題速度有很大幫助，可以大大節省

做題的時間）

是常數，y a x h k a h k a   2( ) ( , , 0)

左右平移規律： 左加右減

上下平移規律： 上加下減

對稱軸位置規律：左同右異

28

第八章 圖形的初步認識

考點一、直線、射線和線段

1、幾何圖形

從實物中抽象出來的各種圖形，包括立體圖形和平面圖形。

立體圖形：有些幾何圖形的各個部分不都在同一平面內，它們是立體圖形。

平面圖形：有些幾何圖形的各個部分都在同一平面內，它們是平面圖形。

2、點、線、面、體

（1）幾何圖形的組成

點：線和線相交的地方是點，它是幾何圖形中最基本的圖形。

線：面和麵相交的地方是線，分為直線和曲線。

面：包圍著體的是面，分為平面和曲面。

體：幾何體也簡稱體。

（2）點動成線，線動成面，面動成體。

3、直線的概念

一根拉得很緊的線，就給我們以直線的形象，直線是直的，並且是向兩方無限延伸的。

4、射線的概念

直線上一點和它一旁的部分叫做射線。這個點叫做射線的端點。

5、線段的概念

直線上兩個點和它們之間的部分叫做線段。這兩個點叫做線段的端點。

6、點、直線、射線和線段的表示

在幾何裡，我們常用字母表示圖形。

一個點可以用一個大寫字母表示。

一條直線可以用一個小寫字母表示。

一條射線可以用端點和射線上另一點來表示。

一條線段可用它的端點的兩個大寫字母來表示。

注意：

（1）表示點、直線、射線、線段時，都要在字母前面註明點、直線、射線、線段。

（2）直線和射線無長度，線段有長度。

（3）直線無端點，射線有一個端點，線段有兩個端點。

（4）點和直線的位置關係有線面兩種：

29

①點在直線上，或者說直線經過這個點。

②點在直線外，或者說直線不經過這個點。

7、直線的性質

（1）直線公理：經過兩個點有一條直線，並且只有一條直線。它可以簡單地說成：過兩點有且只有一條直線。

（2）過一點的直線有無數條。

（3）直線是是向兩方面無限延伸的，無端點，不可度量，不能比較大小。

（4）直線上有無窮多個點。

（5）兩條不同的直線至多有一個公共點。

8、線段的性質

（1）線段公理：所有連接兩點的線中，線段最短。也可簡單說成：兩點之間線段最短。

（2）連接兩點的線段的長度，叫做這兩點的距離。

（3）線段的中點到兩端點的距離相等。

（4）線段的大小關係和它們的長度的大小關係是一致的。

9、線段垂直平分線的性質定理及逆定理

垂直於一條線段並且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線。

線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等。

逆定理：和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。

考點二、角

1、角的相關概念

有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點叫做角的頂點，這兩條射線叫做角的邊。

當角的兩邊在一條直線上時，組成的角叫做平角。

平角的一半叫做直角；小於直角的角叫做銳角；大於直角且小於平角的角叫做鈍角。

如果兩個角的和是一個直角，那麼這兩個角叫做互為餘角，其中一個角叫做另一個角的餘角。

如果兩個角的和是一個平角，那麼這兩個角叫做互為補角，其中一個角叫做另一個角的補角。

2、角的表示

角可以用大寫英文字母、阿拉伯數字或小寫的希臘字母表示，具體的有一下四種表示方法：

①用數字表示單獨的角，如∠1，∠2，∠3 等。

②用小寫的希臘字母表示單獨的一個角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。

③用一個大寫英文字母表示一個獨立（在一個頂點處只有一個角）的角，如∠B，∠C 等。

④用三個大寫英文字母表示任一個角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE 等。

注意：用三個大寫英文字母表示角時，一定要把頂點字母寫在中間，邊上的字母寫在兩側。

30

3、角的度量

角的度量有如下規定：把一個平角 180 等分，每一份就是 1 度的角，單位是度，用"°"表示，1 度記作"1°"，

n 度記作"n°"。

把 1°的角 60 等分，每一份叫做 1 分的角，1 分記作"1'"。

把 1' 的角 60 等分，每一份叫做 1 秒的角，1 秒記作"1""。

1°=60'=3600"

4、角的性質

（1）角的大小與邊的長短無關，只與構成角的兩條射線的幅度大小有關。

（2）角的大小可以度量，可以比較

（3）角可以參與運算。

5、角的平分線及其性質

一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。

角的平分線有下面的性質定理：

（1）角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。

（2）到一個角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。

考點三、相交線

1、相交線中的角

兩條直線相交，可以得到四個角，我們把兩條直線相交所構成的四個角中，有公共頂點但沒有公共邊的兩個角

叫做對頂角。我們把兩條直線相交所構成的四個角中，有公共頂點且有一條公共邊的兩個角叫做臨補角。

臨補角互補，對頂角相等。

直線 AB，CD 與 EF 相交（或者說兩條直線 AB，CD 被第三條直線 EF 所截），構成八個角。其中∠1 與∠5

這兩個角分別在 AB，CD 的上方，並且在 EF 的同側，像這樣位置相同的一對角叫做同位角；∠3 與∠5 這兩個角

都在 AB，CD 之間，並且在 EF 的異側，像這樣位置的兩個角叫做內錯角；∠3 與∠6 在直線 AB，CD 之間，並側

在 EF 的同側，像這樣位置的兩個角叫做同旁內角。

2、垂線

兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直。其中一條直線叫做另一條直線

的垂線，它們的交點叫做垂足。

直線 AB，CD 互相垂直，記作"AB⊥CD"（或"CD⊥AB")，讀作"AB 垂直於 CD"（或"CD 垂直於 AB"）。

垂線的性質：

性質 1：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。

性質 2：直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短。簡稱：垂線段最短。

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考點四、平行線

1、平行線的概念

在同一個平面內，不相交的兩條直線叫做平行線。平行用符號"∥"表示，如"AB∥CD"，讀作"AB 平行

於 CD"。

同一平面內，兩條直線的位置關係只有兩種：相交或平行。

注意：

（1）平行線是無限延伸的，無論怎樣延伸也不相交。

（2）當遇到線段、射線平行時，指的是線段、射線所在的直線平行。

2、平行線公理及其推論

平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。

推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，那麼這兩條直線也互相平行。

3、平行線的判定

平行線的判定公理：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那麼兩直線平行。簡稱：同位角相等，兩

直線平行。

平行線的兩條判定定理：

（1）兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那麼兩直線平行。簡稱：內錯角相等，兩直線平行。

（2）兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那麼兩直線平行。簡稱：同旁內角互補，兩直線平行。

補充平行線的判定方法：

（1）平行於同一條直線的兩直線平行。（2）垂直於同一條直線的兩直線平行。（3）平行線的定義。

4、平行線的性質

（1）兩直線平行，同位角相等。（2）兩直線平行，內錯角相等。（3）兩直線平行，同旁內角互補。

考點五、命題、定理、證明

1、命題的概念

判斷一件事情的語句，叫做命題。

理解：命題的定義包括兩層含義：

（1）命題必須是個完整的句子；

（2）這個句子必須對某件事情做出判斷。

2、命題的分類（按正確、錯誤與否分）

真命題（正確的命題）

命題 假命題（錯誤的命題）

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所謂正確的命題就是：如果題設成立，那麼結論一定成立的命題。

所謂錯誤的命題就是：如果題設成立，不能證明結論總是成立的命題。

3、公理

人們在長期實踐中總結出來的得到人們公認的真命題，叫做公理。

4、定理

用推理的方法判斷為正確的命題叫做定理。

5、證明

判斷一個命題的正確性的推理過程叫做證明。

6、證明的一般步驟

（1）根據題意，畫出圖形。

（2）根據題設、結論、結合圖形，寫出已知、求證。

（3）經過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程。

考點六、投影與視圖

1、投影

投影的定義：用光線照射物體，在地面上或牆壁上得到的影子，叫做物體的投影。

平行投影：由平行光線（如太陽光線）形成的投影稱為平行投影。

中心投影：由同一點發出的光線所形成的投影稱為中心投影。

2、視圖

當我們從某一角度觀察一個實物時，所看到的圖像叫做物體的一個視圖。物體的三視圖特指主視圖、俯視圖、

左視圖。

主視圖：在正面內得到的由前向後觀察物體的視圖，叫做主視圖。

俯視圖：在水平面內得到的由上向下觀察物體的視圖，叫做俯視圖。

左視圖：在側面內得到的由左向右觀察物體的視圖，叫做左視圖，有時也叫做側視圖。

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第九章 三角形

考點一、三角形

1、三角形的概念

由不在同意直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。組成三角形的線段叫做三角形的邊；

相鄰兩邊的公共端點叫做三角形的頂點；相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內角，簡稱三角形的角。

2、三角形中的主要線段

（1）三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點間的線段叫做三角形的角平分線。

（2）在三角形中，連接一個頂點和它對邊的中點的線段叫做三角形的中線。

（3）從三角形一個頂點向它的對邊做垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線（簡稱三角形的高）。

3、三角形的穩定性

三角形的形狀是固定的，三角形的這個性質叫做三角形的穩定性。三角形的這個性質在生產生活中應用很廣，

需要穩定的東西一般都製成三角形的形狀。

4、三角形的特性與表示

三角形有下面三個特性：

（1）三角形有三條線段

（2）三條線段不在同一直線上 三角形是封閉圖形

（3）首尾順次相接

三角形用符號""表示，頂點是 A、B、C 的三角形記作"ABC"，讀作"三角形 ABC"。

5、三角形的分類

三角形按邊的關係分類如下：

不等邊三角形

三角形 底和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形

等邊三角形

三角形按角的關係分類如下：

直角三角形（有一個角為直角的三角形）

三角形 銳角三角形（三個角都是銳角的三角形）

斜三角形

鈍角三角形（有一個角為鈍角的三角形）

把邊和角聯繫在一起，我們又有一種特殊的三角形：等腰直角三角形。它是兩條直角邊相等的直角三角形。

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6、三角形的三邊關係定理及推論

（1）三角形三邊關係定理：三角形的兩邊之和大於第三邊。

推論：三角形的兩邊之差小於第三邊。

（2）三角形三邊關係定理及推論的作用：

①判斷三條已知線段能否組成三角形

②當已知兩邊時，可確定第三邊的範圍。

③證明線段不等關係。

7、三角形的內角和定理及推論

三角形的內角和定理：三角形三個內角和等於 180°。

推論：

①直角三角形的兩個銳角互餘。

②三角形的一個外角等於和它不相鄰的來兩個內角的和。

③三角形的一個外角大於任何一個和它不相鄰的內角。

注：在同一個三角形中：等角對等邊；等邊對等角；大角對大邊；大邊對大角。

8、三角形的面積：三角形的面積=1

2×底×高

考點二、全等三角形

1、全等三角形的概念

能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形。

能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。兩個三角形全等時，互相重合的頂點叫做對應頂點，互相重合的

邊叫做對應邊，互相重合的角叫做對應角。夾邊就是三角形中相鄰兩角的公共邊，夾角就是三角形中有公共端點的

兩邊所成的角。

2、全等三角形的表示和性質

全等用符號"≌"表示，讀作"全等於"。如△ABC≌△DEF，讀作"三角形 ABC 全等於三角形 DEF"。

注：記兩個全等三角形時，通常把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上。

3、三角形全等的判定

三角形全等的判定定理：

（1）邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成"邊角邊"或"SAS"）

（2）角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成"角邊角"或"ASA"）

（3）邊邊邊定理：有三邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成"邊邊邊"或"SSS"）。

直角三角形全等的判定：

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對於特殊的直角三角形，判定它們全等時，還有 HL 定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對應相

等的兩個直角三角形全等（可簡寫成"斜邊、直角邊"或"HL"）

4、全等變換

只改變圖形的位置，二不改變其形狀大小的圖形變換叫做全等變換。

全等變換包括一下三種：

（1）平移變換：把圖形沿某條直線平行移動的變換叫做平移變換。

（2）對稱變換：將圖形沿某直線翻折 180°，這種變換叫做對稱變換。

（3）旋轉變換：將圖形繞某點旋轉一定的角度到另一個位置，這種變換叫做旋轉變換。

考點三、等腰三角形

1、等腰三角形的性質

（1）等腰三角形的性質定理及推論：

定理：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）

推論 1：等腰三角形頂角平分線平分底邊並且垂直於底邊。即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊

上的高重合。

推論 2：等邊三角形的各個角都相等，並且每個角都等於 60°。

（2）等腰三角形的其他性質：

①等腰直角三角形的兩個底角相等且等於 45°

②等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）。

③等腰三角形的三邊關係：設腰長為 a，底邊長為 b，則b

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關鍵字: 三角形 二次 實數