今天和大家分享一篇純技術文章，本文作者嘗試從數學分析的角度，解讀經典的PID控制器！希望業內的工控工程師對PID控制器及PID控制算法有更深入的理解和認識。
來源 | 中華工控網 工控論壇
作者 | 狄靜宇 北京工業大學機械工程與應用電子技術學院博士研究生
工農業生產和軍事國防的需求促進了自動控制理論和技術的產生、完善和發展，反過來自動控制理論和自動控制技術對於工農業生產和軍事國防裝備建設也起到了很大的助推作用。自動控制已經成功的應用於工程技術領域，比如工業的加工製造過程，機器人技術的發展，汽車自動駕駛技術的開發，導彈的制導與控制系統，無人機的飛行控制系統等等。
自動控制理論不僅應用於工程技術領域，而且已經滲透到其他領域比如經濟領域、社會管理領域以及生物醫療領域等。我國著名科學家錢學森曾經說過：“作為技術科學的控制論，對工程技術、生物和生命現象的研究和經濟科學，以及對社會研究都有深刻的意義，比起相對論和量子論對社會的作用有過之而無不及。我們可以毫不含糊地說從科學理論的角度來看，二十世紀上半葉的三大偉績是相對論、量子論和控制論，也許可以稱它們為三項科學革命，是人類認識客觀世界的三大飛躍。”
自動控制理論根據發展的階段和所研究內容的不同，可分為經典控制理論和現代控制理論兩大部分。控制理論的不斷完善和發展推動了控制技術和控制工程的變革，產生了很多新的產品和技術應用。自動控制理論為工程技術、系統設計與開發以及機電產品的研發等提供了可靠的數學計算方法，可以說自動控制理論是整個自動控制產業的核心。本文基於控制論思想，通過數學方法從全新的角度解讀經典控制理論中的PID調節器，力爭用淺顯而深刻的語言詮釋教科書中艱難晦澀的表述。PID控制器，即偏差信號的比例(proportional)-積分(integral)-微分(derivative)控制算法，是最早發展起來的一種控制策略。由於PID控制算法非常簡單、具有很強的魯棒性、可靠性好並且便於工程技術的實現，因此直到現在很多閉環反饋控制迴路的控制策略仍然選用這種古老的經典控制算法。
教科書中PID控制算法的數學方程描述如下式(1)所示↓↓：
相應的傳遞函數表示為下式(2)所示↓↓：
PID控制算法是一種基於偏差信號的控制算法，偏差信號的產生是由傳感器實時不斷監測被控對象的輸出即被調量的大小，然後以負反饋的形式加載到控制指令信號輸入端，兩者經過比較之後形成偏差信號輸入到PID控制器，從而對被控對象起到閉環反饋控制的作用。圖1所示為含有PID調節器的典型負反饋閉環控制迴路結構框圖。PID控制器對於偏差信號起到比例、積分和微分的作用，控制器含有三個待整定的參數，實際應用中可以根據不同的參數組合及具體需求得到比例控制器(P)、積分控制器(I)、微分控制器(D)、比例-積分(PI)控制器和比例-微分(PD)控制器等。
↑↑圖1 含有PID調節器的典型負反饋閉環控制迴路結構框圖
下面從數學分析的角度，用理想質點模型作為被控對象，以被控對象的位置為被調量來解釋PID控制器的控制作用機理，試圖以淺顯而深刻的語言讓更多的人來理解這種古老而有效的PID控制算法。圖2所示為理想質點模型的位置控制示意圖，控制指令信號為r=0，即期望的質點位置為座標原點處，不失一般性，假定0時刻質點的位置處於正半軸的點A。此刻控制指令信號與傳感器檢測到的負反饋信號經過比較產生得到的偏差信號為e(0)=-A，因此比例控制器(P)所產生的控制信號為：
上式為0時刻的比例控制信號，式中的負號表示產生的控制信號方向為負方向，控制作用效果為使質點向著負半軸方向運動。比例控制信號的大小與偏差信號的大小成正比例關係，可以簡單的理解為，如果質點位置離期望的質點位置（座標原點）越遠，則比例控制信號越大；反之如果質點位置離期望的質點位置（座標原點）越近，則比例控制信號越小。比例控制信號的產生與被控對象當前的狀態有關，反應當前狀態的控制需求。實際中由於控制系統各個環節的慣性以及滯後性等的影響，單一比例控制器難以滿足對於控制要求較高的情況，因此需要配合其他控制器來共同完成控制任務。
↑圖2 理想質點模型的位置控制示意圖
假設在0時刻之前存在一個無限小的時間間隔，所對應的時刻為0-時刻，0-時刻質點所處的位置為A´或A´´，其中A´´>A>A´>0，參照圖3所示PID控制算法的數學解釋。質點的位置為隨時間變化的函數P(t)，對於無限小的時間間隔(0－0-)內，函數P(t)為直線形式，因此經過簡單計算可得到微分控制器(D)所產生的控制信號為：
上式中的分式部分表示質點位置函數P(t)的斜率，結合質點的實際運動過程，可知表示質點的運動速度，上式中負號表示所產生微分控制信號的方向與質點的速度方向相反。當0-時刻質點所處的位置為A´時，質點向遠離座標原點的方向運動，質點的速度方向為正半軸方向，此時產生的微分控制信號方向為負半軸方向；當0-時刻質點所處的位置為A´´時，質點向靠近座標原點的方向運動，質點的速度方向為負半軸方向，此時產生的微分控制信號方向為正半軸方向。微分控制信號是一種超前控制信號，能夠“預測”被控對象的運動趨勢，對被控對象的運動趨勢起阻尼的作用，可減緩控制過程中的震盪，使動態的控制過程儘快穩定下來。
↑圖3 PID控制算法的數學解釋
假設在0時刻之後的一個無限小時間間隔，所對應的時刻為0+時刻，0+時刻質點所處的位置為E，不妨假設E>0。由於所選擇的時間間隔(0+－0)為無限小，因此點E在點A的附近，函數P(t)為直線形式。經過簡單計算，可得到積分控制器(I)所產生的控制信號為：
上式中梯形面積代表質點位置對時間的積分，對於上面的研究模型，由於質點處於正半軸上，因此梯形的面積為正，考慮到上式中負號的存在，所以積分控制信號的方向為負方向，控制作用是使質點向著負半軸方向運動。假設在某種控制條件下，質點的位置穩定在A點，即系統存在常值穩態誤差，這時隨著時間的不斷增加，積分控制信號逐漸增大，從而最終可以消除控制系統的穩態誤差。積分控制信號是一種滯後控制信號，能夠“回顧”被控對象的運動歷史，提高控制系統的控制精度。
由於傳統PID控制器的突出優點，至今仍然廣泛的應用於各種控制系統和控制任務中，可以滿足對於控制系統性能要求較高的情況。PID控制器也並不是一成不變的，隨著被控對象複雜程度的不斷加深，將自適應控制、最優控制、魯棒控制和智能控制等控制策略引入到傳統PID控制中產生了新型的現代智能PID控制器，從而進一步拓寬了傳統PID控制器的應用，煥發了經典控制理論和傳統控制技術的活力。
來源 | 工控論壇
作者 | 狄靜宇
北京工業大學機械工程與應用電子技術學院博士研究生
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