"一桥飞架南北，天堑变通途。"拱桥、斜拉桥、悬臂桥、悬索桥等风格不同、造型各异的曲线，结构退异的桥体，一座座桥梁宛如一道道靓丽的风景线.桥梁是力与美的展示，它在人类文明进程中发挥了重要作用。
"桥自门前过，河从家中流。" 吴冠中笔下的江南的小桥，不管是石拱桥、木板桥、风雨桥，都有着特有的精致，它们有的被一笔带过成了点缀，有的被细致描绘成了主角。
每每看他的画时，人们总会不自觉地去寻那一座梦里小桥，也想亲自站在桥上，看水乡风景，闻潺潺流水，倾听那小镇说不完的故事里，浸润着的缠绵的爱意……，通过点、线、面的交织辉映，一座座桥流露出意浓情真的灵秀，寄托着吴冠中先生对江南水乡的浓厚情感.
相对论之父爱因斯坦曾说："数学把我们带进绝对必要的区域，这个区域不仅是真实世界而且每一个可能世界都一定适合的。"
千百年来，数学总是有意识或无意识地影响绘画艺术和艺术家。比如比例、黄金分割、射影几何、高维空间、拓扑变换以及计算机科学等数学思想方法，深刻影响了原始的、古典的、文艺复兴时期的超现实主义画家及其绘画.
平行线的本质在于传递角，过一点恰当地作平行线，是现阶段常用的辅助作法，这是为平行线性质或判定的运用创造了条件；而恰当地平移直线，能把分散的条件加以集中。
如图，若把平面图形F1上的各点按一定方向移动一定距离得到图形Ｆ2后，则由F到凡的变换叫平移变换。
平移变换有下列基本性质：
（1）对应线段平行（或共线），且相等。
（2）对应角相等。
例2．如图，两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
【思考】如果A、B两地之间有两条平行的河流，我们要建的桥都是要与河岸垂直的，我们应该如何找到这个最短的距离呢？
【进一步的思考】如果A、B两地之间有三条平行的河流呢？
【拓展】如果在上述其他条件不变的情况下，两条河并不是平行，又该如何建桥呢？
请将你的思考在下面准备好的图形中表示出来，保留作图痕迹，将行走的路线用粗实线画出来．
【分析】本题主要考查了应用设计与作图，利用平移的性质得出桥的位置是解题关键。根据修建的桥必须是与河岸垂直的，利用平移的知识，先将在桥上要走的路程放在开始走，然后就可以利用"两点之间线段最短"了．
【解答】：如图1所示：从A到B的路径AMNB最短；
【思考】如图2所示：从A到B的路径AMNEFB最短；
【进一步的思考】如图3所示：从A到B的路径AMNGHFEB最短；
【拓展】如图4所示：从A到B的路径AMNEFB最短．
变式1．（2019秋•南京月考）
基本知识
如图1，在直线l的两侧分别有点A和B，都要在l上确定一点P，使点P到A、B的距离之和最小，只需连接AB，则AB与l的交点即为所求点P．
初步探索
如图2 （1）所示，A、B两个单位分别位于一条封闭式街道的两旁，现准备合作修建一座过街天桥，那么桥建在何处才能使由A到B的路线最短？注意，桥必须与街道垂直，桥的宽度不计．请在图2 （2）中面出天桥的位置，不需说明画法，保留画图痕迹．
旧题重温
如图3，村庄A、B在在河流l同侧，现欲在同岸边建一个水泵站P，问水泵站建在何处才能使PA+PB最短．（不需说明画法，保留画图痕迹）
深入探索
如图4 （1），两个居民小区A和B在河岸l的同侧，现欲在河岸边建一个长度为s米的绿化带CD，使C到小区A的距离与D到小区B的距离之和最小．请在图4 （2）中画出绿化带的位置．并写出画图过程．
【分析】初步探索：作AH平行于桥且等于桥的长度，连接BH交街道a于F，作FE⊥街道b于E，线段EF即为所求．
旧题重温：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于P，连接PB，点P即为所求．
深入探索：作AA′∥直线l，使得AA′＝CD，作点B关于直线l的对称点B′，连接A′B′交直线l于D，再作出点C，此时AC+BD的值最小．
【解答】：初步探索：如图EF即为所求的天桥的位置．
旧题重温 ：如图，点P即为所求．
深入探索：如图，点C，点D即为所求．
变式2. 【数学思考】
如图1，A、B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
【问题解决】
如图2，过点B作BB′⊥l2，且BB′等于河宽，连接AB′交l1于点M，作MN⊥l1交l2于点N，则MN就为桥所在的位置．
【类比联想】
（1）如图3，正方形ABCD中，点E、F、G分别在AB、BC、CD上，且AF⊥GE，求证：AF＝EG．
（2）如图4，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝x，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD上，且EG⊥HF，设y＝HF/EG，试求y与x的函数关系式．
【拓展延伸】
如图5，一架长5米的梯子斜靠在竖直的墙面OE上，初始位置时OA＝4米，由于地面OF较光滑，梯子的顶端A下滑至点C时，梯子的底端B左滑至点D，设此时AC＝a米，BD＝b米．
（3）当a＝______米时，a＝b．
（4）当a在什么范围内时，a＜b？请说明理由．
【分析】本题考查的是四边形综合题，掌握平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用以及一元二次方程的解法是解题的关键，解答时注意锐角三角函数的定义的应用．
【解答】：（1）作BH∥EG交CD于点H．则BH＝EG．
∵AF⊥EG，∴BH⊥AF，∴∠BIF＝90°，∴∠IBF+∠AFB＝90°，
又∵直角△ABF中，∠BAF+∠AFB＝90°，∴∠BAF＝∠IBF，
易证明△ABF≌△BCH，∴AF＝BH，∴AF＝EG；
（2）同理作BM∥EG交CD于点M，作AN∥HF交BC于点N．
同（1）可得∠BAN＝∠MBC，
又∵∠ABN＝∠C，∴△ABN∽△BCM，
∴AN/BM=AB/BC=2/x，又HF＝AN，EG＝BM，∴y＝2/x；
（3）解：∵CO＝4﹣a，DO＝3+b．
∴Rt△DOC中，DC²＝（4﹣a）²+（3+b）²，
即（4﹣a）²+（3+b）²＝5²．
当a＝b时，有（4﹣a）²+（3+a）²＝25，
解得a＝1或a＝0（不合）．故答案为：1；
（4）当0＜a＜1时，a＜b．理由如下：
如图5，过点B作DC的平行线，过点C作OF的平行线，两线交于点P，连接AP．
∵CD∥BP，PC∥OF，∴DBPC为平行四边形，∴BP＝DC，CP＝BD．
又AB＝DC，∴BP＝AB．
∴∠BAP＝∠3+∠1＝∠BPA＝∠4+∠2．
若a＜b，即AC＜BD＝CP，因而在△ACP中，
∵∠1＞∠2，∴∠3＜∠4．
又∵∠5＝∠4，∴∠3＜∠5．
∵Rt△ABO中，sin∠3＝OB/AB=3/5，
同理sin∠5＝OC/CD=(4-a)/5，
∴(4-a)/5＞3/5，解得，0＜a＜1．
例3．（2019秋•江汉区期末）如图，∠MON＝15°，四边形ABCD的顶点A在∠MON的内部，B，C两点在OM上（C在B，O之间），且BC＝1，点D在ON上，若当CD⊥OM时，四边形ABCD的周长最小，则此时AD的长度是_______．
【分析】本题考查轴对称最短问题，解直角三角形，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考填空题中的压轴题．
【解答】：如图1中，分别作点A关于直线OM，ON的对称点A₁，A₂，连接BA₁，DA₂，过点A1作A₁A₃⊥CD于A₃，
由图可知：AQ＝A₁Q＝A₃C，AB＞AQ，当A，B，A1共线时，AB最短，此时A₃C＝AB，
∵四边形ABCD的周长＝AB+BC+CD+AD＝A₃C+CD+DA₂+BC＝A₃C+CD+DA₂+1，
∴当A₃，C，D，A₂共线时，四边形ABCD的周长最短（如图2中），作AH⊥CD于H．
∵∠MON＝15°，CD⊥OM，∴∠ODC＝90°﹣15°＝75°，
∴∠FDA₂＝∠ODC＝∠ADF＝75°，
∴∠ADH＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
故答案为2．
变式1．（2020•新都区模拟）如图，已知A（3，1），B（1，0），PQ是直线y＝x上的一条动线段且PQ＝√2（Q在P的下方），当AP+PQ+QB取最小值时，点Q坐标为_______．
【解答】：作点B关于直线y＝x的对称点B'（0，1），过点A作直线MN，并沿MN向下平移√2单位后得A'（2，0）连接A'B'交直线y＝x于点Q
如图
理由如下：∵AA'＝PQ＝√2，AA'∥PQ，
∴四边形APQA'是平行四边形．∴AP＝A'Q．
∵AP+PQ+QB＝B'Q+A'Q+PQ且PQ＝√2．
∴当A'Q+B'Q值最小时，AP+PQ+QB值最小．
根据两点之间线段最短，即A'，Q，B'三点共线时A'Q+B'Q值最小．
∵B'（0，1），A'（2，0），
变式2．如图，二次函数y＝x2﹣4x的图象与x轴、直线y＝x的一个交点分别为点A、B，CD是线段OB上的一动线段，且CD＝2，过点C、D的两直线都平行于y轴，与抛物线相交于点F、E，连接EF．
（1）点A的坐标为_______，线段OB的长＝_______；
（2）设点C的横坐标为m
①当四边形CDEF是平行四边形时，求m的值；
②连接AC、AD，求m为何值时，△ACD的周长最小，并求出这个最小值．
【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查了函数图象的交点坐标的计算，两点间的距离公式，待定系数法求函数解析式以及平行四边形的性质的综合应用，解决问题的关键是根据平行四边形的对边相等以及两点之间线段最短进行计算求解．解题时注意方程思想和数形结合思想的运用．
例4．（2019秋•金水区校级月考）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的．
数学理性而严谨，艺术感性而浪漫.艺术诠释了数学内涵，使数学变得通俗易懂；数学开拓了艺术蕴含，使艺术变得意味深长.抽象的数学概念，始终是艺术创作的永不枯竭的源泉。
几何图形是构成艺术设计的重要元素.抽象的几何图形把节奏与韵律、对比与调和、形象与空间、变化与统一等基本法则表现得完美而现代。科学与艺术是不可分割的，就像一枚硬币的两面，它们共同的基础是人类的创造力，它们追求的目标都是真、善、美。
