熵是個奇怪的概念。有人說它可以衡量一個物理系統的混亂程度，也有人說這是衡量信息的一種方法，但也有人將它放進蒸汽機的背景中討論。那麼它到底是什麼，如何將不同背景中談到的熵聯繫起來？
蒸汽機
薩迪·卡諾（1796-1832）
讓我們從頭開始來探究熵的概念。
十九世紀，蒸汽機逐漸興起，但同時它也暴露了一個嚴重問題：蒸汽機的能量轉化效率極低。
這激發了一位年輕的法國工程師薩迪·卡諾研究熱機效率的理論極限（熱機的功能是將從熱庫吸收的熱量轉化成功，並把剩餘熱量傳遞給低溫熱源）。
1824年，卡諾出版了一本書，書名是《論火的動力》，書中他指出，無論多麼完美的熱機，效率都不可能達到100%。熱機中的能量在傳遞過程中一定有一部分會被浪費掉。
克勞修斯（1822-1888）
卡諾之後大約四十年，魯道夫·克勞修斯致力於解決這種不能將熱量完全轉化成功的問題。他找到了一個數學表達式（見方框）來量化物理系統中無法轉化的能量，他把這個量叫做系統的熵。
熵的經典定義
對於可逆的熱力學過程，系統向溫度為 T 的熱源轉移數量為 Q 的熱量，那麼系統中熵的變化ΔS 可以寫成：
對於可逆系統，系統總熵不變。
無序
卡諾提出了他對熱機非常深刻的看法，儘管他認為熱是一種流體，但事實並非如此。多虧了克勞修斯、開爾文勳爵和詹姆斯·克拉克·麥克斯韋（以及其他人），我們現在知道，熱是一種特殊形式的能量，它起源於構成物質的分子和原子的運動。
這些振動，旋轉，或在液體或氣體中的隨機移動，在運動過程中相互反彈。他們之間的碰撞越劇烈，相應的平均動能就越高，它們所構成的非物質就越熱。每當有東西融化時你都能看到。
例如，在一個冰塊中，單個分子被限制在一個剛性晶格中，但一旦你加熱它，它們就會開始劇烈振動，最終斷開與其他水分子之間的連接，使水變得更熱，同時融化成液體。
聖誕金字塔：頂部的風扇葉片由蠟燭的熱量提供動力。
麥克斯韋、路德維希·玻爾茲曼和其他人後來意識到，熵可以被視為系統無序性的一種度量。如果你想知道這兩個概念是怎麼連接起來的，那麼你可以想象一下一個房間裡有一支燃燒的蠟燭。蠟燭的熱量可以轉化為功。例如，你可以利用從下向上升起的熱空氣來驅動一個頂部有風扇葉片的聖誕玩具。現在想象一下，蠟燭燃盡後，整個房間的溫度是均勻的。這時，整個系統不能再對外做功，所以如果你把熵看作是衡量體系不能做功的能力的量，那麼很明顯，當蠟燭燃盡時，房間的熵比蠟燭仍在燃燒時要高。
第二種情況中，在分子尺度上來看，隨著蠟燭的熄滅系統變得不那麼有序了。空氣的溫度是均勻的，這意味著快分子和慢分子是完全混合在一起的：如果它們以某種方式被分離出來，那麼在房間裡中就會出現一個溫度梯度。實際上，房間所處的熱平衡也是最大無序狀態。相比之下，當蠟燭還在燃燒時，快速分子會聚集在火焰周圍，使情況表現得更加有序。
麥克斯韋和玻爾茲曼提出了一個公式用以計算由許多成分組成的系統（如氣體）中的無序程度。這個公式基於以下觀點：系統有序性越低，系統的同一個宏觀狀態對應的微觀狀態越多。結果表明，用無序性定義的熵和克勞修斯用溫度與熱量定義的熵是等價的。
熵的微觀定義
假設氣體處於某種特殊的宏觀狀態，例如，擁有特定的溫度和壓強。W 是滿足這種宏觀狀態的微觀狀態的個數，熵 S 可以定義為：
其中 k 是玻爾茲曼常數:
J 是能量單位焦耳, K 是溫度單位開爾文.這行公式刻在玻爾茲曼位於維也納的墓碑上。
以上公式用於所有分子出現概率相同的情形中。當出現概率不同時，可以用下面這個更普適的公式：
pi是第 i 個組分出現的概率。
玻爾茲曼的墓碑
信息
那麼熵是怎麼和信息聯繫到一起的？
如果一個系統是非常有序的，那麼你不需要太多的信息來描述它。例如，你可以用一句話來描述冰凍冰塊中分子的規則排列，但是要精確描述氣體，氣體中的分子隨機地飛來飛去，你需要知道每個分子的精確位置和速度才能完全描述整個系統，這需要很多信息。無序越多，熵越高，描述系統所需的信息就越多。
這就是熵的概念如何將發動機的效率與無序以及信息聯繫起來。
熵也包含在自然的一個基本定律中：熱力學第二定律說，孤立系統的熵永遠不會減少。它只能保持不變或增加。就發動機而言，這意味著任何發動機永遠不會自動提高自己的效率，這也很符合直覺。就有序性而言，這意味著任何系統只會變得更加混亂，這也符合直覺（想想你的廚房或辦公桌）。正如我們所看到的，混亂的事物比有序的事物更難描述，這就從信息角度給出了對熱力學第二定律理解。
作者：Marianne
翻譯：Nothing
審校：Nuor
原文鏈接：
https://plus.maths.org/content/maths-minute-entropy
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編輯：aki
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