考研數學真題，有難度！說實話，多數題目的切入考點“不走尋常路”，讓考生第一反應無從著手，計算量也不算小，這些因素綜合起來，很可能基礎不紮實的考生就被當場壓垮了。然而，事分兩面，作為一名高校教師，任教以來是親身體驗了國內目前大多數基礎數理課程的教學要求是有多低、訓練難度是有多水，我個人認為，至少今年這種命題趨勢所給出的信號是積極的，是讓真正學有所悟的人歡欣雀躍的（實際上這一趨勢在早幾年也有所體現，只不過今年真的是特別明顯），真正把基本原理、基礎知識理解透徹了的同學，能夠在這樣的考試當中脫穎而出，而不是讓大家都採用一樣的複習套路無差別的刷幾個月題目，就能夠獲得差不多的結果。從這一點來看，今年的這種命題方式還是相當必要的。
事實上在考試當天中午刷朋友圈時，看到班上學生髮了一條“真好，以後不用再上學了”，就有預感今年的數學題目估計難度加大了，晚上看過題目後，感覺確實，對中等水平的同學而言，這場考試很心塞，但有時實際情況會比自我感覺好，因為難是對大家都難，所以無論如何，考完了就該好好放鬆，不用再糾結了^_^
在此還是按幾年前的思路，從自己的角度對考研真題作一簡評，希望能為接下來要面對這門考試的同學們，提供參考。時間有限，先寫數一（因為我所在的專業是考數一），數二和數三可能沒時間更新，若有空的話，必定補齊。
選擇題：
1、難題。判斷一個反常積分的斂散性，開卷第一題就考平時不大會注意的邊緣內容，可能有的同學對這個知識點都沒怎麼在意，導致對考試造成一定了心理恐慌。這道題目，說實話，以我生疏了好幾年的水平，第一時間也是沒什麼思路的，所以就迅速跳過了，在做後面的題目時又下意識的考慮了一些辦法，最後回過頭來完成了這道題。
具體思路：觀察被積函數分母，是兩個冪函數的乘積，對於冪函數是否可積，是比較方便用其原函數的存在性來判斷的，比如指數>1時，便有確定結論，加之本題是選擇題，四個選項分別對應兩個指數a、b的不同取值，於是可用取特殊值的辦法，如首先令a=0，此時第一部分消失，剩下一部分，若b>1則積分肯定收斂，那麼這就排除了B、D，再考慮a<1的情況，如a=-1，這時分母的第一部分實際上變到分子位置去了，積分若要收斂，應該是整個分式的分母至少在二次方以上，即對應a+b>1，答案選C。
2、簡單題。考察原函數的相關知識點。什麼是原函數？求導以後等於某個已知函數。既然能求導，那必然連續，那麼看下題目給出的四個選項，首先判斷F求導後等不等於f，排除B、C，再看F本身是否連續，排除A，答案選D。這題可能有的同學被卡住，在於對原函數這個概念不能迅速反映到以上結論，但實際上無論課本還是複習全書，都有類似題目，若平時稍有注意，便應能從容應對，故歸入簡單題。
3、中等偏難題。微分方程出現的概率不高，而且以往考的通常是套路性較強的二階常係數，這次突然來個一階非齊次，確實不太常規。這題也不是直接要求解，而是通過解來反推非齊次項。首先用兩個解之差，來給出齊次解，結果是2倍根號的部分，代入齊次方程，可以較快算出p(x)，然後再用其中任意一個解代入非齊次方程，結合之前求得的p(x)，就能算出q(x)了，此題計算量較大，且冪次、根號求導皆容易出錯，需尤其仔細，答案A。
4、中等題。考察連續與可導的概念，知識點很典型，但出題方式新穎。該題的關鍵在於不要被分段函數中的數列形式唬住，實際上緊扣選項要求判斷的連續or可導的基本定義即可。首先看左邊，f(x)=x，在x=0-處，極限為0，其次看右邊，f(x)=1/n，在x=0+處，極限情況如何？注意到x趨向於0+時，與之伴隨的n+1和n只能趨向於正無窮大，故可據此判斷f(x)的右極限為0，左右極限均存在且相等，同時還等於f(x)，連續！排除A、B，然後就是判斷可導性了，與之前類似，嚴格按一點處的左右導數定義來求極限，作判斷，可得答案為D。
5、簡單偏中等題。直接考察與相似有關的基本概念，若概念清晰便不難判斷。已知條件是A與B相似，那麼這兩者之間可由一矩陣P及其逆陣P^-1聯繫，然後對這一等量關係作轉置、求逆，再進行適當的變形，即可得到A、B選項的結論，至於C、D，在確定A、B正確後，稍加推論，不難判斷出D也是正確的，故排除C，答案也選C。
6、簡單偏中等題。此題若不涉及曲面類型判斷，妥妥的簡單題，因為就是個十分典型的二次型相似對角化，再判斷正負慣性指數的問題，但要求確定曲面類型，則難度有所上升，因為這是線代的最後部分內容，很容易忽視，儘管算出慣性指數是兩負一正，可以確定排除C、D，但A、B仍存在較強幹擾，因此屬於簡單偏中等的題目，不知道的同學只能猜了。當然，若留意了這部分內容的，按部就班做下來，就能確定答案B，這真是難者不會，會者不難。
7、中等題。此題涉及的概念仍屬基本，但出題方式巧妙，對於正態分佈（或標準正態分佈），其特性是：均值決定密度函數圖像的對稱位置，方差決定密度函數圖像的高矮，題目中要求的概率p，轉換為標準正態分佈後，實際上是求隨機變量X小於等於1的概率，即密度函數圖像中，從負無窮到1處所圍的面積，想清楚本質後，就知道和均值沒關係，無論均值多少，標準化以後都是對應原點0，而方差會影響高矮，方差越大，圖像越高，那這部分面積就越大，因此概率越大，選B。
8、中等偏難題。這個題目設置的目標是相關係數，和期望、標準差等數字特徵相比，相關係數也是往年真題中出現概率較低的知識點，容易被忽視，加上此題即使按正常思路考慮，將2次試驗、3種結果的概率列表出來，得到其分佈規律，再按相關係數的定義，先算EX、EY，再算EX平方、EY平方、EXY，還要算DX、EY，計算量也甚為驚人。按部就班可得出結果為-1/2，答案選A，但確實總體而言，過程繁瑣，也很考驗耐性。
填空題：
9、簡單題。典型的用洛必達法則求極限的題目，且該題中分子的積分表達式內只有被積元t，無需換元，分母則是耳熟能詳的等價無窮小，故先用等價無窮小替換，再上下分別求導即可。答案1/2。
10、簡單題。直接考察基礎知識點，梯度、散度和旋度，是曲線曲面積分中的三個最基本概念，無非是以往考梯度和散度多一些，但這不應該成為忽視旋度的理由，只要記得用行列式表達的旋度公式，此題無難度，代入計算即可，答案（0, 1, y-1）。切記：梯度是向量，是對標量作運算得來；散度是標量，是對向量作運算得來；旋度是向量，是對向量作運算得來。
11、簡單偏中等題。直接考察隱函數求偏導的運算法則，這個只要把握好微分的本質即可準確作答，屬於無論課本還是複習全書都有明確展示的內容。首先對已知的方程左右兩邊求微分，在這一過程中，無論x，y還是z，都作為變量同等對待，得(x+1)dz+zdx-2ydy=f(x-z, y)2xdx+x^2df，其中df=f1’(dx-dz)+f2’dy，注意到這一步後，不要一根筋的把dz先解出來，因為這個一般表達式較複雜，計算易出錯，題目要求的是x=0，y=1時的結果，就可以先把這兩個特殊值帶進去了，同時由已知條件確定此時z=1，同樣帶進去，運算大大簡化，最後得dz=-dx+2dy。
12、中等偏難題。此題直接對應導數的基本知識點，應該算臉熟的內容，但設置了陷阱，即已知條件只給了在0處的三階導，故只能對f(x)的普遍表達式求一階、二階導，不能再求三階，因為不能確定在除0以外的其它點處存在三階導，只能用定義。按定義算出f'''(0)後，反解出a=1/2。有的同學可能沒注意，想著求了一、二階導後再求三階導代入x=0，計算複雜不說，結果也八成不對。
13、中等偏難題。又是個計算量嚇人的題目，算四階行列式，平時練習一般都是三階居多。回說算行列式的幾種典型思路，要麼化上（下）三角，要麼按行（列）展開，這道題目給的0元素有一些，但不多，個人看來化上（下）三角不是那麼容易，因為主對角線並不是確定的數值，那麼按行展開，這時也要考慮，展開後還要算三階行列式，要儘量讓其成為上（下）三角，以方便運算。帶著這樣的思路觀察，按第四行展開，儘管項數多一些，但每項中的三階行列式都是上三角或下三角，相比於按第一行展開，任務還是要輕鬆一些，畢竟簡單直接，剩下的就是運算小心不出錯了。
14、簡單題同時也是難題。這道題目確實是考了n年都未出現過的知識點，若考前有適當留意，可馬上按部就班算出答案，沒什麼拐彎抹角的；若完全沒印象了就沒辦法。說實話，這道題我在考場上估計也是要放棄，但影響不大，99%的人都不會，關鍵是不要被這一道偏題打擊了心情。具體解答網上有過程，我就不搬弄了O(∩_∩)O
由以上情況可看出，今年的數一試題，選擇題部分難度較大，明顯高於往年水平，由於考生先做選擇題，有可能造成心理波動。接下來的填空題應該說難度適中，但由於受前面影響，一些本可以平穩解答的問題，也可能因焦慮而失分。由此可見，在考場上儘量保持心態平和，遇到不會的、不熟的部分，應避免過度糾結，同時冷靜、客觀的看待全局，這樣的心理素質還是相當重要的。
解答題：
15、中等題。考察知識點是二重積分，這個並不陌生，應屬常規題型。二重積分的命題切入點一是積分區域，一是被積函數，就在這兩個上面作文章，這次被積函數簡單，顯然是前一類型。這題一開始我的反應是把積分區域畫出來，方便數形結合，結果一試之下發現不可行，r的上限不是常見的極座標圖形，於是退一步想，既然兩個自變量的積分上下限都明確給出了，那就直接死算吧，這策略真是……夠無腦(⊙﹏⊙) 把直角座標的二重積分變換為極座標形式（dr前面多出來的r千萬別丟了），上下限也跟著變，角度是常數到常數，極徑是常數到角度的函數，自然先積dr，再代入角度得相應的表達式，然後就是算定積分了。利用對稱性，將角度的上下限鎖定為0到pi/2，熟悉公式的同學可順利得出答案，平心而論，這個公式確實不是熱門，但也不算生僻，實在記不住的，即使未算出最後結果，大部分分數也能保證了。
16、難題。題目內容新穎，將微分方程與反常積分結合，在我印象中是頭一次，以前是見過與級數結合的。順便吐個槽，這次的命題人是有多愛反常積分……此題第一問是要證明反常積分收斂，這種判斷要麼是用一些準則，要麼是直接將積分求出。考慮到這裡的y是一個二階常係數微分方程的解，其形式是e的x次方的組合形式，指數函數的積分，能夠直接計算出來的可能性還是比較高的，順著這個思路嘗試，先將微分方程的通解形式寫出來，我們知道，如果指數函數的指數為負的話，在0到正無窮的反常積分就是一個有限值，而根據此題中微分方程所對應的特徵方程根與係數的關係，再結合0
17、中等偏難題。知識點對應每年必考的曲線積分（尤其是第二類曲線積分），並且與極值問題結合。被積函數是抽象函數，在特點上也比較不同於往年的題型，不過若稍注意的話會發現，被積函數有另一大特點，它是f的全微分！熟悉相關定理的話（但恰好是要達到這一程度不容易）應該馬上就能反應過來了，其曲線積分應與路徑無關，既然與路徑無關，就可以選擇特殊路徑，從(0, 0)點到(1, t)點，首選兩條直線段組成的路徑。當然，是先沿水平方向再沿垂直方向，還是先沿垂直方向再沿水平方向，這取決於題目給出的其它條件，注意f(0, y)是已知的，那麼這基本就決定了要選擇x=0的一條路徑，即先沿垂直方向，從(0, 0)到(0, t)就有著落了，至於緊接著的沿(0, t)到(1, 0)，還有個關於f對x偏導數的條件正好用上。將以上信息代入曲線積分，最終可得I(t)=e^(2-t)+t。至於第二問，因I(t)的表達式並不複雜，基本就算送分了。
18、簡單題。第二類曲面積分應用高斯定理的典型題，此題甚至無需補面，還明確指出是對封閉曲面外側積分（命題人良心啊！）。把積分區域分析清楚即可，是一個四面體的外表面，其中互相垂直的三個面在座標面上，另一個是斜面，用高斯定理轉化為三重積分，剩下的就是任務並不繁重的計算問題了，這類三重積分在平時的聯繫中，應該算是眼熟的，至少肯定不陌生。
19、難題。剛看到這題時的感覺是簡單，第一問裡的級數通項Xn+1-Xn，這求個和不就兩兩抵消，最後剩個Xn+1-X1，然後想辦法證明數列極限不就行了麼，結果仔細一看，要求證明的是絕對收斂，換言之要對通項取絕對值，抵消不了！於是乎……矇蔽了。好，那再想招，既然取絕對值，那就保證了正項級數，於是思路鎖定在正項級數的斂散性判別上，那不外乎就是比較判別法和比值判別法，這兩個用哪個？比值判別法一般用於通項是具體的表達式，這題明顯不是，那就只剩比較判別法了，而比較判別的精髓在於，要判斷收斂，你得找一個收斂的，要判斷髮散，你得著一個發散的，分析到這裡，對於這題，剩下的關鍵就在於怎麼從通項Xn+1-Xn出發，去尋找一個與之能確定大小關係的收斂正項級數了。
這時可以審視下題目給出的還未用到的其它條件，觀察下來Xn+1=f(Xn)是一個線索，因為它可以將兩個相鄰的項聯繫起來，於是嘗試代入數列通項，得Xn+1-Xn=f(Xn)-f(Xn-1)，這時如果稍微能再思考深入一些，就能想到拉格朗日中值定理了，正好是把式子右邊的表達式改寫成帶f’，又有Xn-Xn-1的部分，就這麼一步一步遞推下去吧，最後來到X2-X1，前面的f’也積累成了n-1次方，而f’的範圍已知條件限定了，0到1/2之間，即小於1/2的n-1次方，這不就是我們熟悉的收斂正項級數麼（淚流滿面），至此第一問證明總算結束，說實話，這題能拿全分的，基本是衝著140+去了，做不出來的，目標肯定也沒那麼高，不影響過線或拿100分出頭。我承認，我琢磨了蠻久才做出來，要是真正在考場上，估計沒那麼順利。
至於第二問，是在第一問的基礎上發展來的。這裡分享一個個人積累的經驗，或者說是竅門，假如第一問不會做，那也別完全放棄，仍然可以用來為第二問搭橋鋪路。就像這題裡，我們都知道絕對收斂必收斂，所以由第一問結論可迅速確定級數Xn+1-Xn收斂，那麼其前n項和的極限存在，而其前n項和就對應表達式Xn+1，這與要證明極限存在的Xn無本質區別，這樣即可得證。證明極限存在性後，用泰勒定理把Xn+1=f(Xn)展開成f(0), f’和Xn的表達式，再左右同時取極限，就能解出極限值了。在複習資料上，求數列極限的題目並不鮮見，但這次這道考題，設計得確實巧妙，水平相當高，估計以後會作為經典被反覆解讀。
插播一句，這次的高數解答題，難度直逼號稱史上最難的01年啊，有興趣的小夥伴可以找來那時的試卷體驗一把。
20、簡單偏中等題。按常規思路，線代的兩道解答題，一是落在線性方程組，一是落在特徵值特徵向量，這次的命題中，大思路沒有變化，但稍微有些改頭換面。此題中要求論證的方程AX=B，是矩陣方程，不過呢，如果把握住了本質，就知道無非還是討論線性方程組的解那一套，只不過這裡非齊次項是兩列，那就是兩個線性方程組同時有解的情況。解題策略仍是作初等行變換，化階梯型，然後分類討論即可，係數矩陣滿秩=有唯一解（因為這裡秩最多為3，未知數也為3），係數矩陣不滿秩但增廣矩陣滿秩=無解，係數矩陣不滿秩且增廣矩陣也不滿秩=有無窮多解。求無窮多解時有一定的計算量，但過程應是平時練習很多的。
21、中等偏難題。本題第一問是求A得99次方，但凡求矩陣的高次方的，要麼有特殊規律可以歸納，要麼就是用特徵值特徵向量化為階梯型，先嚐試特殊辦法，算A的2次方看下結果，無規律可循……迅速切換到特徵值方案，因為矩陣A的元素完全已知，且秩為2，故特徵值一個為0，另兩個也不難求解出是-1和-2。然後求特徵向量，組成對應的轉換矩陣P，再求P得逆陣（這計算量不小），最終將A的99次方變形為三個矩陣的乘積，這其中計算容易出錯，故整體難度至少在中等偏上。
第二問是分解B的100次方，運用已知條件B平方等於BA即可，換算過來與A的99次方聯繫上，注意這裡把A的99次方寫成第一問所求得矩陣形式，然後按矩陣乘法的規則，把兩組列向量的表出關係展開即可，這一問相對簡單，但也要求考試對向量組之間互相表出的概念具有較透徹的掌握。
22、中等偏難題。概率統計的兩道解答題，按往年真題的路數，同樣有跡可循，一是落在多維隨機變量，二是落在估計或檢驗。今年的多維隨機變量題目，沒有太明顯的變化，第一問是求均勻隨機分佈的密度，直接算出面積，倒一倒即得結果，當然不要忽視有效區域；第二問判斷U與X的獨立性，由於U本身由X、Y的大小關係決定，兩者耦合，不易直接作出結論，還是要從概率的乘積來著手。首先看U，它只有兩種結果，於是可選擇U=0或U=1來設置事件，再結合X的取值，計算兩者同時發生的概率、兩者分別發生的概率，以及分別發生的概率相乘是否等於同時發生的概率。在X、Y的聯合概率密度已知時，這些概率都是對應不同區域的積分結果而已，理論上並不難算，關鍵在於能否想通這一點。
第三問求Z的分佈函數，那就直接用分佈函數的定義了，它是一個概率，對應事件是Z=U+X
23、簡單偏中等題。這次沒有考似然估計，而是直接考察對隨機變量的理解。第一問，由X的概率密度可積分得到X的分佈函數，同上題，它是一個事件發生的概率（X
最後綜合來看，這次的試題，高數最難（尤其解答題）、線代次之、概率統計相對簡單，但明年參戰的考生切不可慣性思維，掉以輕心，畢竟往年也有高數簡單而線代或概率統計較難得情況，紮紮實實打好基礎，吃透基本知識點與相關原理，再結合適當的題目訓練加深體驗，才是正道。
