2019年河北省中考数学试卷
26．（12分）如图，若b是正数，直线l:y=b与y轴交于点A；直线a:y=x-b与y轴交于点B；抛物线L:y=-x^2+bx的顶点为C，且L与x轴右交点为D．
（1）若AB=8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；
（2）当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；
（3）设x0≠0，点（x0,y1），(x0,y2)，(x0,y3)分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点(x0，0)与点D间的距离；
（4）在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b=2019和b=2019.5时“美点”的个数．
【真题分析】
（1）当x=0时，y=x-b=-b，所以B(0,-b) ,而AB=8，A(0,b)，则b-(-b)=8，b=4．所以L:y=-x^2+4x，对称轴x=2，当x=2吋，y=x-4=-2，于是L的对称轴与a的交点为(2,-2) ；
（2）y=-(x-b/2)^2+b^2/4，顶点C(b/2,b^2/4)因为点C在l下方，则C与l的距离b-b^2/4=-1/4(b-2)^2+1≤1，所以点C与1距离的最大值为1；
（3）由題意得y3=(y1+y2)/2，即y1+y2=2y3，得b+x0-b=2(-x0^2+bx0)解得x0=0或x0=b-1/2．但x0≠0，取x0=b-1/2，对于L，当y=0吋，0=-x^2+bx，即0=-x(x-b)，解得x1=0，x2=b，右交点D(b,0)．因此点(x0,0)与点D间的距离b-(b-1/2)=1/2
（4）①当b=2019时，抛物线解析式L:y=-x^2+2019x直线解析式a:y=x-2019，美点”总计4040个点，
②当b=2019.5时，抛物线解析式L:y=-x^2+2019.5x，直线解析式a:y=x-2019.5，“美点”共有1010个．
看完分析后，自己试着做做吧～
【答案解析】
解：（1）当时x=0时，y=x-b=-b，
∴B(0,-b) ,
∵AB=8，A(0,b)
∴b-(-b)=8，b=4．
∴L:y=-x^2+4x，
∴L的对称轴x=2，
当x=2吋，y=x-4=-2，
∴L的对称轴与a的交点为(2,-2) ；
（2）y=-(x-b/2)^2+b^2/4，
∴L的顶点C(b/2,b^2/4)
∵C点在l下方，
∴C与l的距离b-b^2/4=-1/4(b-2)^2+1≤1，
∴点C与1距离的最大值为1；
（3）由题意得y3=(y1+y2)/2，即y1+y2=2y3，
得b+x0-b=2(-x0^2+bx0)
解得x0=0或x0=b-1/2，
但x0≠0，取x0=b-1/2，
对于L，当y=0吋，0=-x^2+bx，
即0=-x(x-b)，
解得x1=0，x2=b，
∴b＞0
右交点D(b,0)．
因此点(x0,0)与点D间的距离b-(b-1/2)=1/2
（4）①当b=2019时，抛物线解析式L:y=-x^2+2019x
直线解析式a:y=x-2019，
联立上述两个解析式可得：x1=-1，x2=2019，
∴可知每一个整数x的值 都对应的一个整数y值，且-1和2019之间（包括-1和2019)共有2021个整数；
∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，
∴线段和抛物线上各有2021个整数点
∴总计4042个点，
这两段图相交点有2个点重复，
∴“美点”的个数：4042-2=4040（个）；
②当b=2019.5时，抛物线解析式L:y=-x^2+2019.5x，
直线解析式a:y=x-2019.5，
联立上述两个解析式可得：x1=-1，x2=2019.5，
∴当x取整数时，在一次函数上y=-2019.5，y取不到整数值，因此在该图象上“美点”为0，
在二次函数图象上y=x^2+2019.5，当x为偶数时，函数值y可取整数，
可知-1到2019.5之 间有1010个偶数，因此“美点”共有1010个．
故b=2019时“美点”的个数为4040个，b=2019.5时“美点”的个数为1010个．
【考点点评】
本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的性质以及待定系数法求函数解析式是解题的关键．
