導讀：謝爾特會議蘭姆報告 重整化復興量子場論。
漢斯·貝特，圖源[1]
撰文 | 張天蓉
責編 | 寧茜 呂浩然
一、漢斯·貝特
你可能沒聽過我們這一節中的主角：第一次使用重整化方法的漢斯·貝特（Hans Bethe，1906-2005）的名字。他是出生於德國的猶太人，祖父母都是醫生，父親研究生理學，母親是兒童作家和音樂家。
二戰時期（1935年左右），貝特為了逃避納粹迫害離開德國，後來成為一位美國核物理學家。貝特的主要貢獻是對恆星核合成理論的研究，他的理論解釋了為什麼恆星能夠在長時間裡持續向外釋放大量的能量。因為核物理的研究成果，他榮獲了1967年諾貝爾物理學獎。
貝特於98歲的高齡去世，在職業生涯的大部分時間裡，除了在洛斯阿拉莫斯的那幾年，他都是康奈爾大學的教授。那段時期，和眾多因戰爭逃到美國的猶太裔德國物理學家一樣，貝特參加了秘密的曼哈頓計劃（Manhattan Project）。並且，正是因為貝特在核物理界的成就和威望，他受羅伯特·奧本海默（Julius Robert Oppenheimer，1904 -1967，曼哈頓計劃的領導者）之命，負責原子彈研發的理論物理研究，為製造原子彈作出了重要貢獻。後來，貝特、愛因斯坦和原子科學家緊急委員會開展了反對核試驗與核軍備競賽運動。他幫助說服肯尼迪和尼克森政府分別簽署了1963年《部分禁止核試驗條約》（Partial Test Ban Treaty， PTBT）和1972年《反彈道導彈條約》（Treaty on the Limitation of Anti-Ballistic Missile Systems，ABM）。
在洛斯阿拉莫斯期間，他提拔了當時才二十出頭的年輕人理查德·費曼（Richard Feynman ，1918-1988）。有一個以他們兩人命名的計算核武器效率的公式：貝特－費曼公式（Bethe–Feynman formula），就是他們合作的成果。
我們這一節的故事，是貝特、費曼，還有其他幾位物理學家共同努力解決量子場論中的無窮大問題。所以，我們就從量子場論中無窮大的困難說起。
二、無窮大問題
狄拉克（Paul Adrien Maurice Dirac，1902 -1984）1927年的文章中，將電磁場量子化，目的是為了解釋愛因斯坦在1916年提出的原子自發輻射問題。一個孤立原子，不可能自動地輻射原本不存在的光子。引進了場論的觀點後，真空不空，而是成為了光子場的基態，這樣就能將自發輻射看做真空對原子相互作用的結果。在具體計算中，只能用微擾論來計算這種相互作用。實際上，量子電動力學，本來就是電磁量子真空態的微擾論。
如上一篇中所述：在粒子數表象中，光子場系統的總能量可以表示為：
公式中n是光子數。什麼是真空態呢？真空態是可以由我們自己定義的。因為我們討論的是光子場，所以最合適的真空定義是所有（頻率）的光子數都為0。但是從上式中可見，n=0的真空態|0>，對應的總能量並不為0。這時的能量H=½h，這個值便被理解為真空態的漲落。
因此，用QED（Quantum Electrodynamics，量子電動力學）研究原子（或電子）和電磁場系統時，可以將對應於能量的哈密頓量寫成幾個部分之和：單獨原子系統的哈密頓量，單獨電磁場的哈密頓量，兩者（原子和電磁場）相互作用的哈密頓量。如下圖所示。
電磁場和原子（或電子）的哈密頓函數
式中λ的是相互作用常數，與精細結構常數（α=1/137）有關，數值應該很小。一般來說，我們只需要考慮相互作用哈密頓量中的1階近似或2階近似，就能得到與實驗符合得不錯的結果。然而，當考慮更高階項，以為可以改進理論計算的精確度時，卻經常得到無窮大發散的結果。
問題首先出現在1930年奧本海默發表的一篇論文中。他試圖計算電子與電磁場之相互作用對原子中電子能級的影響［後來知道這是蘭姆位移（Lamb shift）］。奧本海默發現電子自能更像一個不收斂的序列，類似於：1+1+1+1+……因此，量子場論最後計算結果預測的能級差異為無限大。
實際上，無窮大問題在經典電子學中也存在。例如，電子自能的無窮大是來源於電子的點粒子模型。經典物理中計算自身電荷產生的能量時，首先我們可以將電子當作一個半徑 r 的小球，無論是將電荷均勻分佈於球面上或球體中，當 r 趨近於0時，電子質量公式 m=e²/rc² 都會得到無窮大的電磁能。即當電子半徑 r 趨於零時質量 m 趨於無窮。最後，經典電子論通過引進電子的有限半徑（非點粒子）免除了這一發散。
惠勒（John Archibald Wheeler，1911 -2008）和費曼戰前的文章，是根據超前-推遲勢模型，經典地解決無窮大問題。他們也曾試圖推廣此方法用來解決量子場論中的無窮大自能問題，但最終沒有成功。
這無窮大的結果困惑了物理學家多年，導致量子場論的研究停滯不前。那時，大家認為場論有根本性的問題，不是一個好的理論。因此，這個問題也激勵人們提供新的觀點來完善量子場論。
不過，那時的物理學家們正忙於別的事，因為二戰已經開始了。
三、謝爾特島會議
二戰結束之後，物理學家們重新思考如何解決這個問題。有三次重要的會議與此有關。
1947年6月，在紐約州長島東段的謝爾特小島（Shelter Island）上，美國科學院專門召開會議，主題是量子力學與電子問題，實際上主要討論當時物理中出現的突破性進展：物理學家威利斯•蘭姆（Willis Eugene Lamb，1913-2008）和同事用戰爭中發展的新興微波技術測出的 “蘭姆位移”及相關問題。
這是科學史上的一件盛事，雖然與會者僅有24位，但都是一流人物。
1947年的謝爾特島會議 , 圖源[2]
根據狄拉克方程計算，氫原子的2S（1/2）和2P（1/2）能級相同，可以簡併。然而，蘭姆探測後發現，這兩個能級其實並不吻合，而是存在一個小小的能級差，好比梯級中這對本應一般高的臺階卻有一個比另一個稍微高了一點。後來將此現象稱為蘭姆位移。
蘭姆在謝爾特島會議上作報告，圖源[3]
威利斯·蘭姆是生於洛杉磯的美國物理學家，1934年獲得加州大學伯克萊分校化學學士學位，後來在羅伯特·奧本海默的指導下完成中子散射研究，他於1938年獲得物理學博士學位。他測試了蘭姆位移，並因此在1955年獲得諾貝爾物理學獎。2008年，蘭姆由於膽結石疾病的併發症去世，享年94歲。
謝爾特島會議上，有費曼，還有另一位與費曼同齡的聰明年輕人——哈佛大學的美國理論物理學家朱利安·施溫格（Schwinger Julian S，1918-1994）。施溫格和費曼同年出生於紐約，家族是波蘭籍的猶太裔，從事製衣行業。施溫格從小聰慧過人，也是個有名的天才。施溫格的生活習慣很奇怪，習慣白天打瞌睡睡懶覺，晚上起床學習和工作。不過，他是物理學家中出了名的硬算高手，對冗長繁難的筆算非常拿手。
謝爾特島會議上的討論，費曼為中心 （從左至右）蘭姆（站）、惠勒（站）、派斯、費曼、費許巴赫、施溫格
伊西多·拉比（Isidor Rabi，1898-1988）是美國猶太人物理學家，他發現了核磁共振（NMR），並於1944年獲得了諾貝爾物理學獎。施溫格在紐約市立學院讀本科時，被伊西多·拉比看中，後轉至哥倫比亞大學學習。施溫格於1939年獲得博士學位，畢業後在伯克利加州大學和普渡大學任教。二戰期間，施溫格從事了有關雷達和加速器的研究。1945年出任哈佛大學教授，但後來因與同事不和，70年代離開哈佛至加州大學洛杉磯分校任教直至退休。施溫格培養了多名優秀博士生，其中有4名獲得了諾貝爾獎，此外還有布萊斯·德維特（Bryce DeWitt，1923-2004），他是量子引力的奠基人。
事實上，當年拉比也向謝爾特島會議做了精確測量電子磁矩的報告，不過由於蘭姆的工作而頗顯黯淡，但不久後它在量子電動力學的發展中也扮演了重要的角色。
四、重整化（
重正化）在謝爾特島會議之前，日本的朝永振一郎（Sinitiro Tomonaga，1906-1979）與他的日本同事已經解決了不少量子場論的問題，但因為戰爭的緣故，他們的工作不為美國科學家所知。在謝爾特島會議上，施溫格和費曼貢獻了另外兩種方法。
也就是在這次會議上，誕生了重整化（renormalization，也稱重正化）的想法。
在介紹重整化之前，還應該提及一個所謂正規化（regularization）的方法。正規化是將產生髮散的部分“截斷”。很多情況下，無窮大是產生於量子場論中對從0到無限大的所有動量的積分。例如，電子自能的計算中，需要包括所有頻率的電磁場的能量，k值大的部分積分引起無限大，如果將積分限制在某一個k以下，便能得到有限的結果。大的k值對應於小的空間範圍，所以也可以說正規化就是將空間尺度限制在一定範圍，例如，設定一項空間中最小距離D，略去（截斷）那些太小（小於D）的尺度。
但正規化的方法引起許多質疑，例如，結果可能會與最小距離D有關，那麼，到底應該從哪個距離D開始截斷才能得到正確的答案？此外，除了截斷值D之外，量子場論中的參數與物理測量值之間，還有許多含糊的概念。換言之，哪些參數是可以測量的？哪些參數無法測量？將這些想法綜合起來，物理學家們產生了後來稱之為重整化（renormalization）的思想。意思就是，是否有可能根據物理參數的實驗值，通過重新定義某些參數（比如電荷、質量、耦合常數等），使得當正規化中的D趨近0的時候，計算結果收斂於一個與D無關的固定值。換言之，計算中的無窮大問題可能可以在重新定義的參數中被抵消。除此之外，物理學家們又進一步規定：如果一個理論中，只有有限多個參數需要被重新定義就能消除發散問題，這個理論就被認為是可以被重整化的，否則就是不能被重整化。例如，可以證明，QED是一個可以被重整化的理論。
實際上重正化的第一步想法應該歸功於最有洞見的狄拉克，他在1933年8月寫給玻爾的信中，提到電子的“有效電荷”：“佩爾斯（Rudolf Ernst Peierls，1907-1995）和我一直在關注由靜電場引起的負能量電子的分佈變化問題。我們發現這種分佈上的變化使得部分電荷中和 ……這些有效電荷在所有低能實驗中都可以測的到，實驗決定的電子電量應該和電子的有效電荷量一致……當這種mc²大小的能量開始起作用，人們可以期待一些公式的修正。”狄拉克的有效電荷就是我們測量到的電荷，他所說的真實電荷就是現在所說的“裸”電荷，即他信中所說“電荷的中和”就是電荷重正化。
除了裸電荷（bare charge）之外，還有裸粒子具有的裸質量或其他裸參數，“裸”的意思，是將所考慮的粒子設想成完全孤立，不和任何其它粒子（或場）發生相互作用的情況下它所具有的性質。但是不存在完全孤立的粒子，所以“裸”只有理論上的意義，沒有觀察效應。因此，我們並不真正知道這些裸參數的值。重整化的思想，是將這些裸參數假設為無窮大，並與使用微擾論時碰到的無窮大量同樣級別增長且互相抵消。兩者相消的結果，是具有真實物理意義的可測參數。
在謝爾特島會議上，克拉默斯（Hendrik Anthony Kramers，1894-1952）提出重新標準化（歸一化）電子質量的建議，即質量重正化。也就是將裸質量設想成無窮大以抵消無窮大的粒子自能。電子與自身電磁場是不可分離的，從一開始就考慮其與電磁場的相互作用而增加的質量，即考慮實驗質量，便不需要涉及電子的具體結構問題而克服發散困難。
四天的會議結束之後，貝特從紐約坐火車返回，途中仍然忘不了思考物理問題，乾脆拿出紙筆，成功地完成了氫原子中電子能量的蘭姆移位的第一次“重正化”計算。他把理論上能夠通過重新定義電子的電荷e₀、質量m₀和場量Ψ這些發散量，用重整化的方法吸收過去。經過重正化的處理後，各階修正的結果都不再發散，計算的各階輻射修正可以和實驗進行比較；這一方法給出了蘭姆移位的正確答案。
之後，在多位物理學家的努力下，重整化的方法和理論逐漸完善。應用重整化之後的量子電動力學，成為計算結果最精確的理論，根據它求出的電子和光子相互耦合的精細結構常數（fine-structure constant）的理論值，和試驗的誤差小於百億分之3。因此，費曼後來把QED譽為“物理學的瑰寶”。
費曼對QED貢獻最大的工作，要首推他的費曼圖。我們將於下一次介紹。
註釋：
[1]. 來自於Wikipedia.
[2].https://albert.ias.edu/handle/20.500.12111/5304
[3].https://www.nature.com/articles/453867a
