雞兔同籠問題,大約一千五百年前,孫子算經就有記載了。能流傳這麼久,肯定是經典中的經典。
有這麼一道題目:籠子裡有若干只雞和兔。從上面數,有8個頭,從下面數,有26只腳。雞和兔各有幾隻?
解這道題目的方法有很多種,小到幼兒園的小朋友都會做。小學教材教的是假設法:
假設籠子裡的都是雞,那麼就有16只腳,這樣就多出了26-6=10只腳。一隻兔比一隻雞多2只腳,也就是10÷2=5只兔。
最後得到3只雞和5只兔。
假設法又派生出各種名稱:抬腿法……
用方程如下:
雞的只數為x,兔的只數為y。
x+y=8
2x+4y=26
最後也得到3只雞和5只兔子。
方程方法主要考察運算能力。
條條道路通羅馬,可是不同的道路,經歷不同,認知也不同。如果不是去羅馬,去新大陸。那就很多人都蒙圈了。
考試原則是:課本上有的不考,老師教的不考,就是要難到學生。雖然很多人會雞兔同籠問題,題目稍微改一下,大部分學生就做不出來了,家長也做不出來了。為了鍛鍊兔子的快跑能力,把兔子一隻腳和身體捆綁起來,這樣兔子只有三條腿。稱三足兔,為了和四足兔區分,三足兔為卯。
為了計算簡單,數量變小一點。題目修改為:
有12個頭,腳為40只。求雞、卯和兔各是多少隻。
如果用方程,有三個未知數,兩個列式,很難求的。
用假設法也很麻煩了。
估計難到不少學生,考察了計算理解能力和搭配的知識結合。
我們回過頭用邏輯思維來解決雞兔問題,再來解決這個問題就簡單多了。
在雞兔問題裡,我們可以用我們二年級和三年級學過的搭配知識,和餘數含義分析思維來解決。
當然還要結合邏輯思維:《
你不知道的九宮格填法,是打開你邏輯思維大門的金鑰匙!》。雞和兔搭配一組就有6條腿。
計算得到:26÷6=4餘2.
多出的這兩隻腳要麼是雞的,要麼是兔的。
商4表示4組組合,8個頭。餘數的兩隻腳只能是兔子的了。
也就是說至少有一個組合是兔子和兔子組合了。
這樣就剩下3個組合了。得到3只雞和3+2=5只兔子。
在這裡特別要注意的是搭配的情況:
雞+兔,雞+雞,兔+兔。
不管如何,整除的組合裡一定有混搭,有可能有同搭,這得根據餘數和頭數來確定。
明白這個道理,後面的難題就很容易解決了。
雞、卯和兔搭配就是2+3+4=9只腳。
40÷9=4餘數是4。
4個組合,4×3=12個頭了。而餘數4只腳沒有所屬了,因為如果4為兔子,就要加一個頭了。
也就是說最多有3組混搭。3×9=27只腳,9個頭。
還有40-27=13只腳和3個頭。
三個頭只能存在兩種動物,13個腳為單數,那必然有卯。轉化為“雞兔”問題了。
3個卯9只腳與13只腳矛盾;2個卯也不符號,因為腳數為單數,卯也必然為單數;(《你不知道的九宮格填法,是打開你邏輯思維大門的金鑰匙!》。)1個卯兩兔也不對。
通過這樣分析就得到最多2組混搭了。
還有:6個頭和22個腳,兩種動物:雞卯、卯兔、雞兔或者單種動物了。
分析為一種動物的可能:
雞:6×2=12。不可能
卯:6×3=18。也不可能。
兔:6×4=24 。也不可能。
這樣就變成了典型的雞兔問題了。
有三種情況,不過通過單種算法,只有24大於22,所以,必定有兔。
卯兔和雞兔這兩種情況了。
用雞兔同籠方法求得:
(1)1只雞和5只兔;
(2)2卯4兔。
最後答案:3只雞2只卯7只兔 或者2只雞4只卯6只兔。
再分析一下1組混搭的情況:
分析12-3=9個頭和40-9=31只腳的情況。
通過31知道必然存在卯,而且為奇數個,即1,3,5,7,9.
3×9=27<31必然存在兔子。
也就是卯兔組合。
31-27=4.
4÷1=4 只兔子,9-4=5只卯。
最後求得:1只雞,6只卯,5只兔。
綜上所述有以下幾種可能:
(1)1只雞,6只卯,5只兔;
(2)3只雞,2只卯,7只兔;
(3)2只雞,4只卯,6只兔。
題目稍微改一改,難到一大片。可是仔細想想,確實沒有超綱,都是課本的知識點:有餘數除法和搭配。
通過這題,我們也深刻領悟到:雖然條條大路通羅馬,但是你走哪條,將決定你是否能超越羅馬,走向新大陸!
在學習上,一定要走正道,深刻理解解題思路,舉一反三,否則靠刷題隨時都有可能掉隊。
生活上也一樣,要走正道,結果重要,過程也很重要。過程的純度決定結果的甜度。這正如有些人富了幾代人,而有些人富裕了,沒富多久,就負了。
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