“希望杯”中的勾股定理

“希望杯”中的勾股定理

勾股定理是我國最早發現與應用的一個世界級的定理，其應用廣泛，價值非凡．在“希望杯”數學競賽中時常可見它的身影．請看：

例1（2010年第21屆初一第2試）As in figure 1，the area of square ABCD is 169cm2，and the area of thombus BCPQ is 156 cm2．then the area of the shadow part is ( )

A.23 cm2 B.33 cm2 C.43 cm2 D.53 cm2

(英漢詞典：square正方形； thombus菱形)

分析與解：根據英文敘述，結合圖形，該題的意思是：如圖1，正方形ABCD的面積為169cm2，菱形BCPQ的面積是156cm2，則陰影部分的面積是（ ）

假設PQ交CD於E．則陰影部分的面積等於正方形ABCD的面積169，減去梯形BCEQ的面積．而由正方形的面積169可知正方形的邊長為13，故BC＝13，從而菱形BCPQ的邊長也是13，即CP＝PQ＝BC＝13．又菱形BCPQ的面積是156，即BC×CE＝156，所以高CE＝156÷13＝12．

在直角三角形CEP中，由勾股定理，得PE2＝169-144＝25，所以PE＝5，從而QE＝13－5＝8，

所以梯形BCEQ的面積等於(8＋13)/2×12＝126，

所以，陰影部分的面積等於169－126＝43，選C．

例2（2013第24屆初一第1試）如圖2，ABCD和DEFG都是正方形，面積分別為9平方釐米和13平方釐米，點G在線段AB上，則△CDE的面積是 平方釐米．

分析與解：由正方形ABCD的面積為9，得邊長為3，所以CD＝3，因此，欲求△CDE的面積，作CD上的高EH．則由∠GDE＝∠ADH＝90°可知：將△DEH繞點D順時針旋轉90度後，DE、DH分別與DG、DA共線，又DE＝DG，所以DE與DG重合，又∠H＝∠A＝90°，所以DH與DA重合，所以HE＝AG重合，即EH＝AG．

在直角三角形ADG中，由勾股定理，得AG^2＝DG^ 2－AD^2＝13－9＝4，所以AG＝2，所以EH＝2，所以△CDE的面積＝CD×EH/2＝3×2/2＝3．

例3（2013第24屆初二第1試）如圖3，在正方形ABCD中，E、G、F分別是AB、AD、BC邊上的點，若BE＝2AE，AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°，則GF的長是 ．

分析與解：設AE＝x，則BE＝2x．在直角三角形AEG中，由勾股定理，得，EG^2＝1＋x^2；在直角三角形BEF中，由勾股定理，得，EF^2＝4＋4x^2；在直角三角形BEF中，由勾股定理，得，GF^2＝EG^2＋EF^2＝5＋5x2．

過點G作GH⊥BC於H．則BH＝AG＝1，GH＝AB＝3x，所以FH＝BF－BH＝2－1＝1．在直角三角形GFH中，由勾股定理，得，GF^2＝1＋9x^2．

所以5＋5x^2＝1＋9x^2，整理，得x^2＝1，所以GF^2＝5＋5＝10，所以GF＝√10．

例4（2013第24屆初二第2試）如圖4，點P在正方形ABCD內，△PBC是正三角形，若△BPD的面積是√3－1，則正方形ABCD的邊長是 ．

分析與解：設正方形ABCD的邊長為a，則正△PBC的邊長也是a．由勾股定理，得BD^2＝2a^2，作△BPD的邊BP上高DE．則在直角三角形PDE中，∠DPE＝180°－60°－75°＝45°，所以DE＝PE，設DE＝x，則在直角三角形BDE中，BE＝a＋x，由勾股定理，得(a+x)^2＋x^2＝2a^2，整理，得a^2－2ax－2x^2＝0．

由△BPD的面積是√3－1，得ax/2＝√3－1，所以x＝(2√3-2)/a，代入上式，得

a^2－4√3＋4－2×(16-8√3)/a^2＝0，

去分母，得a^4－4√3a^2＋4a^2－32＋16√3＝0，

整理，得（a^2－4）（a^2＋8－4√3）＝0，

因為a^2＋8－4√3＞0，所以a^2－4＝0，a＝2．

所以正方形ABCD的邊長是2．

例5（2013第24屆初二第2試）As in Figure 4，both ∠D＝∠E＝90°in trapezoid ADEB.△ABC is an epuilateral triangle with C on DE.If AD＝7 and BE＝11，find the area of △ABC.

(英漢詞典：trapezoid 梯形；epuilateral triangle 等邊三角形；area面積)

分析與解：題意為：如圖5，梯形ADEB中，∠D＝∠E＝90°，△ABC是等邊三角形，C在DE邊上．如果AD＝7，BE＝11，求△ABC的面積．

顯然，欲求等邊△ABC的面積，只需要先求它的邊長．作AF⊥BE於F．則EF＝AD＝7，從而BF＝11－7＝4．設△ABC的邊長為a，DC＝x，CE＝y，則分別在直角三角形△ABF、△ADC、△BCE中，由勾股定理，得

AF =√(a^2-16)，DC=√(a^2-49)，CE=√(a^2-121)，

因為AF＝DC＋CE，所以

√(a^2-16)=√(a^2-49)+√(a^2-121)，

兩邊平方，並整理，得154－a^2＝2√[(a^2-49)(a^2-121)]，

兩邊再平方，並整理，得a^2（a^2－124）＝0，所以a^2＝124，

故△ABC的面積＝√3/4×124＝31√3．