簡單函數的加減乘除組合，如何求導數呢？先求簡單導數再加減乘除

本篇是前面的一篇文章

為了打通微積分的“任督二脈”，讓我們來愉快地求導數吧

的延續閱讀。

之前，我們瞭解了簡單函數的求導，諸如（C）'=0、（a^x）'=a^x*lna、（x^μ）'=μx^(μ-1)。

那遇到簡單函數的加減乘除組合，例如：1、f(x)=2x^3±e^x；2、f(x)=2x^3*e^x；3、f(x)=2x^3/e^x，該如何求導數呢？

第1個函數，可以用通項式表達為：f(x)=A(x)±B(x)，那麼有：

於是得第1個函數的導數：f'(x)=(2x^3±e^x)'=(2x^3)'±(e^x)=6x^2±e^x。

第2個函數，可以用通項式表達為：f(x)=A(x)*B(x)，那麼有：

於是得第2個函數的導數：f'(x)=(2x^3*e^x)'=(2x^3)'*e^x+2x^3(e^x)'=6x^2*e^x+2x^3*e^x。

第3個函數，可以用通項式表達為：f(x)=A(x)/B(x)，那麼有：

於是得第3

個函數的導數：f'(x)=(2x^3/e^x)'=[(2x^3)'*e^x-2x^3*(e^x)']/(e^x)^2=(6x^2*e^x-2x^3*e^x)/(e^x)^2=(6x^2-2x^3)/e^x。

上面是兩個簡單函數的加減乘除組合的求導，那麼三個、四個乃至N個簡單函數的組合怎麼求導呢？原理也是一樣的，先把它們視作兩個函數作第一步求導，再進一步推導剩餘函數組合的導數。

比如，分別對f(x)=A(x)±B(x)±C(x)、g(x)=A(x)*B(x)*C(x)、h(x)=A(x)/B(x)/C(x)求導。得：

f'(x)=A'(x)±B'(x)±C(x)'；

g'(x)=[A(x)*B(x)*C(x)]'=[A(x)*B(x)]'*C(x)+A(x)*B(x)*C'(x)=A'(x)*B(x)*C(x)+A(x)*B'(x)*C(x)+A(x)*B(x)*C'(x)；

h'(x)=[A(x)/B(x)/C(x)]'={[A(x)/B(x)]'*C(x)-A(x)/B(x)*C'(x)}/C^2(x)={[A'(x)/B(x)-A(x)/B'(x)]*C(x)/B^2(x)-A(x)/B(x)*C'(x)}/C^2(x)=[A'(x)*B(x)*C(x)-A(x)*B'(x)*C(x)-A(x)*B(x)*C'(x)]/B^2(x)*C^2(x)。

四到N個簡單函數的組合求導，以此類推。

最後，我們來求一個組合函數f(x)=(e^x*sin x)/x+e^x*cos x*x^a的導數：

f'(x)=[(e^x*sin x)/x+e^x*cos x*x^2]'

=[(e^x*sin x)'*x-e^x*sin x*(x)']/x^2+(e^x*cos x)'*x^2+e^x*cos x*(x^2)'

=[(e^x)'*sin x*x+e^x*(sin x)'*x-e^x*sin x]/x^2+(e^x)'*cos x*x^2+e^x*(cos x)'*x^2+e^x*cos x*2x^

=(e^x*sin x*x+e^x*cos x*x-e^x*sin x)/x^2+e^x*cos x*x^2-e^x*sin x*x^2+e^x*cos x*2x

=1/x^2*(e^x*sin x*x-e^x*sin x-e^x*sin x*x^4+e^x*cos x*x+e^x*cos x*x^4+e^x*cos x*2x^3)

=e^x*sin x/x^2*(x-1-x^4)+e^x*cos x/x^2*(x+x^4+2x^3)

這裡面也沒有什麼技巧性的東西，只需要按部就班地推算就可以。

第一次關注我的小夥伴們，可以從第一篇看過來，下面是圖文鏈接。