如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,点D是平面内的一个动点,且AD=4,M为BD的中点。设线段CM长度为a,在D点运动过程中,a的取值范围是__________
图1
分析:本题是动点问题,而且是双动点问题,按照“主动支配从动,从动跟随主动,动中找定”构想,回归到“动中取静”的策略。
你能读懂“点D是平面内的一个动点,且AD=4”这句话的含义吗?D是动点但不是随意的点,而是以A为圆心,AD=4的长为半径的作圆周
运动。
构图如图2:
通过显示圆作出主动点D、从动点M运动的轨迹
主动点D运动轨迹:以定点A为圆心、AD=4为半径作圆
从动点M运动轨迹:以定点AB的中点P为圆心,(1/2)AD=2长为半径的作圆
发现:圆生圆,有相似
图2
解题:
在Rt△ABC中:中线PC=(1/2)AB=5
在△ABD中:中位线PM=(1/2)AD=2
CM长的范围转化为“圆外定点到圆上最值”问题,即C、P、M三点共线问题。
运动到如图3位置时:CM最大=PC+PM=5+2=7
图3
运动到如图4位置时:CM最小=PC-PM=5-2=3
图4
故CM的范围是:3≤a≤7
题外,这个构图就是我的头条号logo!