伟大公式集合（收集中）

1. 欧拉恒等式

这是一个非常著名的恒等式。它给出了3个看似随机的量之间的联系：π、e和-1的平方根。许多人认为这是数学中最漂亮的公式。

一个更一般的公式是e^(ix) =cosx+isinx (a^b表示a的b次方，下同)。当x=π，cosx取值为-1，而isinx取值为0。由-1+1=0，我们得到了欧拉恒等式。

2. 欧拉乘积公式

等式左边的符号是无穷求和，而右边的符号则是无穷乘积。这个公式也是欧拉首先发现的。它联系了出现在等式左边的自然数（如n=1，2，3，4，5等等）与出现在等式右边的素数（如p=2，3，5，7，11等等）。而且我们可以选取s为任意大于1的数，并保证等式成立。

欧拉乘积公式的左边是黎曼ζ函数最常见的一种表示形式。

3. 高斯积分

函数e^(-x²)本身在积分中是很难对付的。可是当我们对它在整个实数轴上积分，也就是说从负 无穷到正无穷时，我们却得到了一个十分干净的答案。至于为什么曲线下面的面积是π的平方根，这可不是一眼就能看出来的。

由于这个公式代表了正态分布，它在统计中也十分重要。

4. 连续统的基数

上面的公式说明了实数集的基数与自然数全体子集的基数相同。这首先是被集合论的建立者康托尔证明的。值得注意的是，这也说明了连续统是不可数，因为2^N > N。

一个相关的假设是连续统假设。这个假设是说，在N和R之间不存在其它的基数。有趣的是，这个假设有一个奇怪的性质：它既不能被证明也不能被证伪。

5.阶乘函数的解析延拓

阶乘函数通常被定义为n!=n(n-1)(n-2)……1。但是这个定义只对n是正整数时有效，而上面积分方程则对分数和小数也有效，而且还可以用于负数、复数等等……

同样的积分式中我们把n换成n-1就定义了伽马函数。

6. 卡尔丹三次方程的解

这也是用了很久时间呢，虚数的作用也是从此中发现。

7. 斐波那契数列的通项

这里，注意到φ这个数字是黄金分割比例。很多人可能听说过斐波那契数列（0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55…，数列中每一项是前两项的和），却很少人知道有一个公式能够计算出任意某一项斐波那契数：这就是上面我们给出的公式，公式里面F(n)代表第n个斐波那契数。也就是说，为了得到第100个斐波那契数，你不需要去计算前99个，而只需要把100代入公式

值得注意的是，即便在计算过程中出现了许多根号和除法，最后的答案总是一个精确的正整数。

8. 巴塞尔问题

这个公式告诉我们，如果你取所有完全平方数并将它们的倒数和相加，你将会得到\\pi^2/6。这是欧拉首先证明的。注意到这个式子只是在前面的第二个方程（欧拉乘积公式）中令s=2。后者是黎曼ζ方程，因此我们可以说ζ(2)的值是π²/6。

9. 调和级数

这个公式有点反直觉，因为它告诉我们，如果你把一些不断变小的数（最终趋向0）加起来，最后将会得到无穷。可是如果你是取它们的平方，和却是一个有限的值（答案是π²/6）。如果仔细观察调和级数，你会发现它正是ζ(1)。

10. 素数计数公式的显式表达

这个方程的重要性体现在：

素数是那些除了1和它本身以外没有其它因子的数。小于100的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97 。 由此可知，素数的出现没有显然的规律：对于一串连续正整数，有时候你会找到许多素数，有时候你会一个也找不到。找到很多或一个找不到似乎是完全随机的。

很长时间以来，数学家都在尝试给出素数分布的规律。上面的公式正是不大于一个给定数素数个数的显式表达。

以下是各个符号的意义：

π(x): 素数计数函数。它给出了不大于一个给定数的素数个数。例如，π(6)=3，因为有3个素数不大于6：2，3，5。

μ(n): 莫比乌斯函数。它依据n的质因数分解而取值为0， -1或1。

Li(x): 对数积分函数。它被定义为函数1/lnt从0到x的积分。

ρ: 黎曼ζ函数的任意非平凡零点。

令人吃惊的是，整个公式的结果总是一个精确的正整数！这说明，给定一个实数，我们可以把它代入公式并得到不大于它的素数个数。存在着这样一个公式的事实说明，素数的分布存在某些规律，只是我们现在还不能理解罢了。

11.勾股定理

勾股定理指的是，直角三角形的斜边的平方等于它的两条直角边的平方和。你会在初中接触到它。

勾股定理常被认为是毕达哥拉斯先发现的，但是现在关于谁是勾股定理的首个发现者还没有定论。也许古巴比伦人比毕达哥拉斯早1000年就领悟了勾股定理。

勾股定理是几何学的核心，它也是代数，还有三角学的基础。该公式对于测绘、制图、导航来说不可或缺。全球定位系统（GPS）就离不开勾股定理。

12.对数方程

利用对数方程可以把乘法变为加法。你大概会在高一接触它。

对数方程最初是由苏格兰的一个地主约翰•纳皮尔（John Napier）在对大数进行乘法运算时发现的。纳皮尔你家是有多少地？

对数是革命性的，它让繁琐的计算变得更方便快捷。在计算机出现前，工程师和天文学家靠这个方程让计算更快更准确。当然，计算机的出现让该对数方程逊色了不少，但是对于科学家来说对数方程仍然很重要。

对数方程还有相关的指数方程被用来进行数学建模，比如生物的生长，还有放射性衰变。

13.微积分

微积分是计算瞬时变化量的数学工具。比如，物体运动的速度就可以用微积分来解决。你大概要在高中学习微积分的初级知识。

17世纪末，微积分由艾萨克•牛顿（Isaac Newton）和戈特弗里德•莱布尼茨（Gottfried Leibniz）在同一时期发现。至于谁先发现，谁又剽窃了谁，很长时间里两人争论不休，所以现在我们干脆说微积分是他俩发明的。

斯图尔特认为，“微积分创造了现代世界”。微积分是测量线、面、体的关键。它也是许多自然法则的基础，也是微分方程的来源。

任何一个需要得出最优解的数学问题都涉及微积分。微积分是医学、经济学、物理学、工程学和计算机科学的必备知识。

14.万有引力定律

万有引力描述的是两个物体之间的引力和距离的关系。你大概要在高中学习这个知识。

艾萨克•牛顿利用翰尼斯•开普勒（Johannes Kepler）的天文学和数学研究得到了该定律。 但是，牛顿也有可能剽窃了同时代英国博物学家、发明家罗伯特•胡克（Robert Hooke）的研究。

在相对论出现之前，我们一直使用万有引力来描述世界是如何运行的。时至今日在卫星和探测器的轨道设计中我们依然需要应用万有引力。

在发射航天器时，我们用万有引力来寻找最佳的路径，节约航天器燃料。

15.波动方程

波动方程描述的是波的运动，比如小提琴琴弦的振动。你大概在大学学到（或者永远不会学到）。

波动方程可以解释声波的传播、地震的原理，以及海浪的行为。

石油公司在寻找油藏（石油勘探）时，常会引爆炸弹，然后利用波动方程来分析地质构造，从而锚定油藏所在地。

16.虚数

虚数的平方为负1。你大概要在高中学习这个知识。

斯图尔特认为，“...如果没有虚数，很多现代科技，如电灯和数码相机都不可能发明。”虚数继续发展，就变成了数学的一支——复分析，工程师可以利用复分析来进行数据处理。

虚数广泛应用于电气工程学、信号处理和数学理论。

17.多面体欧拉定理

多面体欧拉定理描述了一个多面体的顶点数V、棱数E及面数F间的关系。比如，一个立方体有8个顶点，12条棱，6个面，所以 8+6-12=2。你大概会在高中学到。

多面体欧拉定理是一个重要数学分支——拓扑学的基础。拓扑学研究的是平面连续形变后的几何性质。

在现代科学里，拓扑学可以用来研究 DNA 的功能，也可以用来研究社交媒体还有因特网。

18.正态分布

正态分布是一种钟形曲线，用来描述一个数值被观测到的概率。你大概在大学学到（或者永远不会学到）。

正态分布是现代统计学的基础，科学，尤其是医学、生物学和社会科学钟爱正态分布，也离不开正态分布。几乎对所有的科学实验数据的分析都离不开正态分布。

比如，利用正态分布可以确定在临床试验中，某个药物是否有效。

19.傅里叶变换

傅立叶变换描述的是时间和频率的关系。你大概在大学学到（或者永远不会学到）。

傅立叶变换可以将成分复杂的波（比如歌曲、人的语言的声波）庖丁解牛，把它的成分一一分离出来。傅立叶变换对于信号分析来说至关重要。

傅立叶变换可以用来压缩文件。比如，一个音频文件可以被傅立叶变换分解成不同的声波，这样我们就可以去掉那些人类听不到的高音（高频波）和低音（低频波），从而精简文件。同理，可以利用傅立叶变换把图像压缩为 JPEG 格式。傅立叶变换也可以用来发现分子的结构。

20.维纳-斯托克斯方程

纳维-斯托克斯方程是描述流体运动的基本方程。你大概在大学学到（或者永远不会学到）。

我们现在还不能完美地求解纳维-斯托克斯方程。谁能求解这个方程，就可以拿走著名的千禧年大奖，以及附带的一百万美金奖励。

好在现在的计算机的计算性能已经很强大，可以给出纳维-斯托克斯方程的近似解，所以物理学家和工程师才能研究复杂的流体问题，设计符合空气动力学的车辆和飞机。

21.麦克斯韦方程组

麦克斯韦方程组描述的是电场和磁场之间的关系。你大概在大学学到（或者永远不会学到）。

英国物理学家迈克尔•法拉第对电磁之间的关系做了开创性的研究，但由于数学不好，他并没有为这些现象做出数学上的解释。后来，詹姆斯•麦克斯韦把他的实验发现转化为方程，这就是麦克斯韦方程组的来源。

麦克斯韦方程组从根本上改变了物理学，它是电磁学的基础，现代电学和相关技术都依赖这个方程。有了它，才有雷达、电视和现代通信。

22.热学第二定律

热力学第二定律描述的是，能量和热量随时间的推移而消散。热力学第二定律的基本概念你大概在初中会接触到，但是它的进阶知识你可能会在大学学习。

热力学第二定律能解释能量和宇宙的变化。熵这个物理量也是基于热力学第二定律产生的。有了热力学第二定律，我们才能理解为什么热茶总是会变冷。

在设计引擎和发电厂的时候，必须要考虑热力学第二定律。在证明物质是由原子构成时，热力学第二定律也起到了一定的作用。

23.质能方程

质能方程指的是，能量等于质量乘以光速的平方。你可能会在高中接触到它。

许多人都听说过质能方程，但是很少有人知道，在爱因斯坦之前，阿尔伯特·迈克耳孙（Albert Michelson）和爱德华·莫雷（Edward Morley）通过实验证明了光速守恒。而爱因斯坦则是在理论上解释了这个实验发现。

质能方程也许是历史上最著名的方程，它彻底改变了我们对宇宙和现实的看法。核武器的发明就依赖质能方程。

24.薛定谔方程

薛定谔方程是量子物理学的关键方程之一，它把物质描绘成了一种波。你大概在大学学到（或者永远不会学到）。

薛定谔方程彻底改变了我们对微观尺度的看法。薛定谔方程所描述的粒子以概率的方式出现，而且具有不确定性。薛定谔的观点是颠覆性的，而他的理论也成了量子力学的基础。

现在，核能、半导体、激光都和薛定谔方程有关。

25.信息论

信息论估计的是一段代码所包含的信息量。你大概在大学学到（或者永远不会学到）。

信息论可以用来估计任何内容（比如书和图片）的信息量。斯图尔特说，“这是信息时代的方程。”

利用信息论可以计算图片最多可以被无损压缩成多小。除了数据压缩以外，信息论也被广泛应用在密码学、数据传输等计算机科学中。

26.人口增长模型

人口增长模型描述的是在资源有限的情况下，一群生物的数量增长模式。你大概在大学学到（或者永远不会学到）。

人口增长模型和混沌理论有关，有助于解释自然现象。混沌理论中最广为人知的一个概念就是蝴蝶效应——微小的初始值变化会引起截然不同的后果，这就来自于人口增长模型。

现在，人口增长模型在地震预测和天气预报中都有应用。

27.布莱克-斯科尔斯方程

布莱克-斯科尔斯方程是为一类金融产品（如期货、期权）定价的数学模型。你大概在大学学到（或者永远不会学到）。

它的发明者——美国经济学家费希尔·布莱克（Fischer Black）和迈伦·舒尔兹（Myron Scholes）因为这个方程获得了1997年的诺贝尔经济学奖。

价值上万亿美金的金融产品都是布莱克-斯科尔斯方程的“衍生品”。许多人认为金融危机和布莱克-斯科尔斯方程脱不了干系，因为布莱克-斯科尔斯方程里包含的一些假设在现实生活中站不住脚。

在2008年的金融危机之后，实际上银行家们还在用布莱克-斯科尔斯方程对大多数金融衍生品进行定价。

28.表示第n个素数。

29.统一物理公式（电磁、强和弱作用力。还差引力）：

30.微分几何曲面方程

设曲面

是

中的光滑曲面（符号上面不方便写箭头，我用横杠表示向量了），则有曲面在自然标架下的运功方程：

其中

为法向量

，

、分别为曲面第一、第二基本形式系数矩阵，

是第二类Christoffel符号。

引入黎曼曲率张量

（Gauss方程）

（Codazzi方程）

31.拉马努就公式

32.费拉里（意大利数学家）四次方程解法

33.近似的π公式

34.梅钦π近似公式

35.约翰伯努利连续离散公式

36.哈代一类三次不定方程最简单特解

37.高斯十七边型公式

38.林德曼π近似公式

39.拉马努金连根号公式

40.拉马努金连黄金分割公式

41.高斯-博内公式

这就是微分几何中的高斯-博内公式的主要内容，即角差等于高斯曲率的面积分,诸如球面三角形的内角和等内容都与它有关,它是整体微分几何的开山之作之一

平面上任一三角形的三内角之和恒等于π,对于一般曲面上由三条测地线构成的三角形,其内角和等于π加上高斯曲率K在此三角形所围曲面上的积分.
1827年,高斯证明了这一定理.
1944年,博内将这一定理推广到一般曲面上,由任一闭曲线C围成的单连通区域,形成了著名的高斯-博内公式.
1944年,陈省身给出了高斯-博内公式的内藴证明.

42.陈氏定理（陈景润）

任何一个充分大的偶数都可以表示成一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和