我們對於數學應該怎麼去看待？數學應該像一個從遠處一眼就看見的美麗鄉村，人們能夠在其中漫步，詳細研究一切山坡、峽谷、小溪、岩石、樹木和花草。然而就像對其它事物一樣，對於數學的美，我們只能意會，不能言傳。這段話來自我們本文的主角之一--凱萊在擔任英國科學促進協會主席的就職演說，這段話很好地詮釋了數學，也詮釋了凱萊的工作。作為一個產出豐富的數學家，凱萊完全可以與歐拉、柯西比肩。而他在不變量理論上的同志希爾維斯特則與他完全不同，兩個人正好在學術上互補。今天科普君就來說說這兩位。
凱萊和希爾維斯特
阿瑟·凱萊於1821年出生在英國的里士滿（不是美國那個，其實美國那個里士滿也是從英國借的名字，屬於山寨。美國有很多這樣的地名，比如紐約，英國有個約克郡，所以美國的就叫新約克），他的祖上據說很顯赫，不過他的父親只是一個在俄羅斯從事貿易的商人。在凱萊8歲的時候，他的父親退休了，回到了英國，凱萊被送去一個私立學校。14歲的時候又被送去倫敦的國王學院。凱萊在很小的時候如同高斯一樣，顯露出了卓越的數學才能，他十分擅長數值計算，並且把這些計算當做娛樂。凱萊的老師們一致認為他是一個天生的數學家，在這點上，伽羅瓦就很悲催。凱萊在17歲的時候進入三一學院學習，他在大學期間最愛做的事情是讀各種古典小說，但是他並沒有將數學落下。大學三年級的時候，主考人因為他的數學太好了，而在他的名字下面畫了一條線，意思是"在第一名之上"的最出眾的一類人。凱萊大學畢業後又在學校當了3年的特別研究生和助理導師，在那幾年中，他一共發表了25篇論文。這些論文規劃了他以後將近50年的研究生涯的方向，包括n維幾何、不變量理論、平面曲線的枚舉幾何學以及橢圓函數理論等。
三一學院
25歲的時候，凱萊離開了三一學院，去了一個律師協會，在經過3年的學習和實踐後，他在28的時候當上了律師。然而他並不喜歡這個職業，即使在從事律師的苦役般的14年生活中，他也不斷地進行數學研究，一共發表了兩三百篇的數學論文。我們把凱萊先放一放，轉頭再來看看他的搭檔希爾維斯特的成長曆程。
詹姆斯·約瑟夫·希爾維斯特於1814年出生在英國的倫敦，他是個猶太人。跟凱萊一樣，希爾維斯特也從小就顯示出了不一樣的數學天賦。15歲的時候，他進入利物浦的皇家學院，在那裡他學習了兩年，然後轉入劍橋大學聖約翰學院，不過由於生患重病，他中斷了學業，直到23的時候才通過了數學榮譽學位考試。1838年，希爾維斯特擔任倫敦大學的自然哲學教授，沒過幾年，他又去了美國，擔任弗吉尼亞大學的數學教授。但是他無法忍受在美國的遭遇，過了一年就回到了英國，去做了保險精算師（看到沒，學數學的可以轉很多很多行業的，大家一定要努力學好數學啊），但是他還是私底下招收了幾個學生，教授他們數學，其中包括著名的弗洛倫斯·南丁格爾。希爾維斯特的精算師生涯雖然維持了將近十年，但是他並不快樂，於是在1850年，他也獲得了律師資格。兩個偉大的數學家居然因為律師而走到了一起，開始了他們數學史上的一段金牌搭檔的佳話，著名的"不變量理論"就是從此開始發揚光大的。另外一個小八卦，凱萊和希爾維斯特站在一起的時候，有點像金庸小說《鹿鼎記》中的瘦頭陀和胖頭陀。
聖約翰學院
不變量理論最早是在1841年由布爾發現的。布爾觀察到每一個代數方程都有一個判別式，當方程有兩個或更多的跟相等時，這個判別式等於零。那麼每一個方程的判別式，當其中的x用相關的y來代替時，是否除去一個只依賴於變換系數的因子外，判別式保持不變呢？結論是肯定的。那麼除了判別式外，是否還有其他的係數組成的表達式具有在變化下不變的性質呢？答案也是肯定的。凱萊在這一點上開始深入研究，1845年，他的論文《論線性變換理論》標誌著他開始進入了這一領域。這個領域在剛開始出現的時候，似乎並沒有什麼用，但是到了後來，包括黎曼、裡奇、萊維-齊維塔、李和愛因斯坦他們的工作基本上都是從代數不變量理論開始的，而凱萊和希爾維斯特是這個理論真正的奠基人。
不變量理論
1850年代開始，凱萊和希爾維斯特發展了更一般的代數形式變換理論，而矩陣是他們手中極為有效的工具，矩陣代數於是被確立出來了。矩陣這個名詞是希爾維斯特在1850年首次引進的，他稱一個m行、n列的陣列為"矩陣"。而凱萊則是首先將矩陣作為獨立研究對象的數學家，他從1855年起就發表了一系列的矩陣研究論文，奠定了矩陣論的基礎。特別是1858年他發表的《矩陣論的研究報告》一文，在這篇論著中，凱萊定義了零矩陣、單位矩陣、逆矩陣、矩陣的特徵方程和特徵根，建立了矩陣的各種運算，同時推導了許多關於矩陣性質的理論，其中就有著名的凱萊-哈密頓定理。
矩陣運算
1863年，由於大學法規的變化，凱萊被任為劍橋大學純粹數學的第一個薩德勒教授，直至逝世。同年，希爾維斯特被法國科學院選為通信院士。
凱萊的著作十分豐富，共發表了數學論文大約966篇。他的數學論文幾乎涉及純粹數學的所有領域，全都收集在共有4開本13大卷的《凱萊數學論文集》中，每卷約有600頁。
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