如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+3x/2+c(a≠0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的右侧),与y轴交于点C,点A的坐标为(4,0),抛物线的对称轴是直线x=3/2.
(1)求抛物线的解析式;
(2)M为第一象限内的抛物线上的一个点,过点M作MG⊥x轴于点G,交AC于点H,当线段CM=CH时,求点M的坐标;
(3)在(2)的条件下,将线段MG绕点G顺时针旋转一个角α(0°<α<90°),在旋转过程中,设线段MG与抛物线交于点N,在线段GA上是否存在点P,使得以P、N、G为顶点的三角形与△ABC相似?如果存在,请求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
考点分析:
二次函数综合题.
题干分析:
(1)首先利用对称轴公式求出a的值,然后把点A的坐标与a的值代入抛物线的解析式,求出c的值,即可确定出抛物线的解析式.
(2)首先根据抛物线的解析式确定出点C的坐标,再根据待定系数法,确定出直线AC解析式为y=﹣x/2+2;然后设点M的坐标为(m,﹣m2/2+3m/2+2),H(m,﹣m/2+2),求出MH的值是多少,再根据CM=CH,OC=GE=2,可得MH=2EH,据此求出m的值是多少,再把m的值代入抛物线的解析式,求出y的值,即可确定点M的坐标.
(3)首先判断出△ABC为直角三角形,然后分两种情况:①当N1P1/AC=P1G/CB时;②当N2P2/BC=P2G/CA时;根据相似三角形的性质,判断出是否存在点P,使得以P、N、G为顶点的三角形与△ABC相似即可.
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