一、勾股定理與面積問題
1、三角形中利用面積法求高
例題1、直角三角形的兩條直角邊的長分別為 5 cm，12 cm，則斜邊上的高線的長為 ( D ) 。
A、80/13 cm B、13 cm C、13/2 cm D、60/13 cm
例題2、點 A 、B、 C 在格點圖中的位置如圖所示，格點小正方形的邊長為 1 ，則點 C 到線段 AB 所在直線的距離是多少？。
第2題圖
答案：3√5 / 5 。
解析：如圖，連接 AC，BC，設點 C 到線段 AB 所在直線的距離是 h ；
第2題解答圖
∵ S△ABC = 3×3 - 1/2 × 2×1 - 1/2 ×2×1 - 1/2 × 3 × 3 - 1 = 3/2 , AB = √5 ,
∴ 1/2 × √5 × h = 3/2 解得 h = 3√5 / 5 。
2、利用乘法公式巧求面積或長度
例題3、已知 Rt△ABC 中，∠C＝90°，若a＋b＝12cm，c＝10cm，則 Rt△ABC 的面積是 ( D ) 。
A、48 cm2 B、24 cm2 C、16 cm2 D、11 cm2
例題4、若一個直角三角形的面積為 6 cm2，斜邊長為 5 cm，則該直角三角形的周長是 ( D )。
A．7 cm B、10 cm C、(5＋√37 ) cm D、12 cm
例題5、“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關係證明了勾股定理，是我國古代數學的驕傲。如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設直角三角形較長直角邊長為 a，較短直角邊長為 b，若 (a＋b)^2＝21，大正方形的面積為13，則小正方形的面積為( C ) 。
第5題圖
A、3 B、4 C、5 D、6
3、利用割補法求面積
例題6、如圖，已知AB＝5，BC＝12，CD＝13，DA＝10，AB⊥BC，求四邊形 ABCD 的面積。
第6題圖
解：
第6題答圖
連接 AC，過點 C 作 CE⊥AD 交 AD 於點 E
∵ AB⊥BC ∴ ∠CBA＝90° .在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝13
.∵ CD＝13，∴ AC＝CD
.∵ CE⊥AD，∴ AE＝ 5
.在 Rt△ACE中，由勾股定理得 CE＝12
.∴ S四邊形ABCD＝ S△ABC ＋ S△CAD = 30 + 60 = 90 。
例題7、如圖，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB＝4，CD＝2，求四邊形 ABCD 的面積 。
第7題圖
解：延長AD，BC交於點 E
.∵ ∠B＝90°，∠A＝60°，∴∠E＝30°
∴ AE＝2AB＝8 在Rt△ABE中，由勾股定理得 BE = 4√3 。
∵∠ADC＝90°，∴∠CDE＝90°，
∴CE＝2CD＝4 在 Rt△CDE 中，由勾股定理得 DE＝4√3 。
∴ S四邊形ABCD = S△ABE - S△CDE = 1/2 × AB × BE - 1/2 × CD × DE = 6√3 。
二、勾股定理中的思想方法
1、分類討論思想
① 直角邊與斜邊不明需分類討論
例題8、一直角三角形的三邊長分別為2，3，x，那麼以 x 為邊長的正方形的面積為 （C）。
A、13 B、5 C、13 或 5 D、4
例題9、直角三角形的兩邊長是 6 和 8，則這個三角形的面積是 24 或 6√7 。
② 銳角或鈍角三角形形狀不明需分類討論
例題10、在△ABC中，AB＝10，AC＝2√10，BC 邊上的高 AD＝6，則BC的長為 ( C )。
A、10 B、8 C、6 或 10 D、8 或 10
例題11、在等腰△ABC中，已知AB＝AC＝5，△ABC 的面積為10，則 BC＝ 2√5 或 4√5 。
2、方程思想
① 實際問題中結合勾股定理列方程求線段長
例題12、如圖，小華將升旗的繩子拉到旗杆底端，繩子末端剛好接觸到地面，然後將繩子末端拉到距離旗杆8m處，發現此時繩子末端距離地面2m，則旗杆的高度為________。
第12題圖
答案： 17 m 。
② 摺疊問題中結合勾股定理列方程求線段長
例題13、如圖，將長方形 ABCD 沿 EF 摺疊，使頂點 C 恰好落在 AB 邊的中點 C′上．若AB＝6，BC＝9，求BF的長。
第13題圖
解：
∵ 摺疊前後兩個圖形的對應線段相等
∴ CF＝C′F ， 設 BF＝x .∵ BC＝9，∴C′F＝CF＝BC－BF＝9－x.
∵ C′ 是 AB 的中點，AB＝6，∴ BC′＝ 3
在Rt△C′BF 中，由勾股定理得 C′F^2＝BF^2＋C′B^2，即(9－x)^2＝x^2＋3^2，
解得 x＝4，即BF的長為 4 。
③ 利用公共邊相等結合勾股定理列方程求線段長
例題14、如圖，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面積。
第14題圖
解：
第14題答圖
過點 A 作 AD⊥BC 交BC 於點 D
在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，設 BD＝x，則CD＝BC－BD＝14－x；
在Rt△ABD 和 Rt△ACD中，由勾股定理得
AD^2＝AB^2－BD^2＝15^2－x^2，
AD^2＝AC^2－CD^2＝13^2－(14－x)^2，即15^2－x^2＝13^2－(14－x)^2，
解得 x＝9，在Rt△ABD中，由勾股定理得 AD＝12
∴ S△ABC＝1/2 BC·AD＝1/2 × 14 ×12＝84。
3、利用轉化思想求最值
例題15、一隻螞蟻從稜長為4cm的正方體紙箱的A點沿紙箱外表面爬到B點，那麼它的最短路線的長是________cm。
第15題圖
答案：4√5 。
例題16、如圖，A，B兩個村在河CD的同側，且AB＝√13 km，A，B兩村到河的距離分別為AC＝1 km，BD＝3 km。現要在河邊CD上建一水廠分別向A，B兩村輸送自來水，鋪設水管的工程費每千米需3000元。請你在河岸CD上選擇水廠位置O，使鋪設水管的費用最省，並求出鋪設水管的總費用W(元)。
第16題圖
解：
第16題答圖
如圖，作點 A 關於 CD 的對稱點 A′，連接 BA′ 交 CD 於 O，點 O 即為水廠的位置。
過點A′ 作 A′E∥CD 交 BD 的延長線於點 E，過點 A 作 AF⊥BD 於點 F，則AF＝A′E，DF＝AC＝1km，DE＝A′C＝1km。
∴ BF＝BD－FD＝3－1＝2 (km)。
在Rt△ABF中，AF^2＝AB^2－BF^2＝13－22＝ 9，∴AF＝3 km ∴ A′E＝3 km。
在Rt△A′BE中，BE＝BD＋DE＝4 km，由勾股定理得A′B＝ 5 (km)。
∴W＝3000×5＝15000(元)，故鋪設水管的總費用為15000元。
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