連續函數一定有導數嗎？
早在 17 世紀, 人們就已經知道可微的函數一定也連續, 也就是說函數的連續性是其可微性的必要條件. 然而, 對連續函數是否也可微卻經歷了一個漫長的認識過程. 這是因為在 19世紀之前, 微積分學的嚴密基礎並沒有得以建立, 有關函數的嚴格定義仍未取得今天這樣的形式. 事實上, 人們一直把函數的概念和作為動點軌跡的幾何曲線等同起來. 既然連續的曲線在每一點上都有切線, 因而當時的數學家都相信連續的函數也一定都是可微的. 即使有例外,也不過是在個別幾個孤立點或尖點處不可微罷了.
直到 1860 年, 德國大數學家外爾斯特拉斯 (Weierstrass, 1815-1897) 構造了一個函數震驚了當時的數學界. 設 a 為任意一個奇整數, 而 b 是一個小於 1 的正實數, 並且 ab > 1+3π/3. 再定義
外爾斯特拉斯的發現不僅使人們認識到連續性並不蘊含著可微性, 更為重要的是它使數學家們更加不敢過分信賴幾何的直覺了. 而且在外爾斯特拉斯以後, 人們又陸續發現了許多形形色色的連續函數, 它們都是處處不可微的. 由此刺激了數學家對不可微連續函數的深入研究, 迫使他們認識到把微積分學建立在嚴密基礎上的必要性, 這就直接導致了實變函數論的誕生.
當然, 像所有的新生事物一樣, 無處可微的連續函數一開始並不為人們所接受, 它們往往被看成是一些病態而無意義的函數. 例如, 法國大數學家龐加萊 (Poincaré, 1854-1912) 曾如此評價這種函數: “半個世紀以來我們已經看到了一大堆離奇古怪的函數, 它們被弄得越來越不象那些能解決問題的真正函數了.”厄爾米特也說過這樣的話: “我懷著驚恐的心情對不可微函數令人痛惜的禍害感到厭惡.”然而,20 世紀的數學發展證明了即使是這種無處可微的連續函數也是描述自然現象所不可或缺的. 比方說, 布朗運動過程幾乎所有的樣本軌道都是這種無處可微的連續函數.
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