要追溯虛數（imaginary number）出現的軌跡，就要聯繫與它相對實數的出現過程。我們知道，實數是與虛數相對應的，它包括有理數和無理數，也就是說它是實實在在存在的數。
有理數出現的非常早，它是伴隨人們的生產實踐而產生的。有理數是整數（正整數、0、負整數）和分數（可以表示為有限或為無限循環的數）的集合，整數也可看做是分母為1的分數。
有理數一詞是從西方傳來，在英語中是rational number，而rational通常的意義是“理性的”。中國在近代翻譯西方科學著作，依據日語中的翻譯方法，以訛傳訛，把它譯成了“有理數”。但是，這個詞來源於古希臘，其英文詞根為ratio，就是比率的意思（這裡的詞根是英語中的，希臘語意義與之相同）。所以這個詞的意義其實是指整數的“比”。與之相對，“無理數”就是不能精確表示為兩個整數之比的數，而並非沒有道理。
例如，一個連長為1的正方形，對角線的長度就是一個無理數√2。
1545年意大利米蘭的卡爾達諾發表了文藝復興時期最重要的一部代數學著作，提出了一種求解一般三次方程的求解公式：
一般的一元三次方程可寫成ax³+bx²+cx+d = 0 (a ≠ 0 )的形式。這個式子除以a，並設x=y-b/3a，則可化為如下形式：y³ + py + q = 0，其中p的值↓
其中q的值↓
所以討論ax³+bx²+cx+d = 0 (a ≠ 0 )的解的問題，轉而可以轉變為討論x³ + px + q = 0的問題。
當卡丹試圖用該公式解方程x³-15x-4=0時他的解是：
在那個年代負數本身就是令人懷疑的，負數的平方根就更加荒謬了。因此卡丹的公式給出x=(2+j)+(2-j)=4。容易證明x=4確實是原方程的根，但卡丹不曾熱心解釋(-121)1/2的出現。認為是“不可捉摸而無用的東西”。
上面方程的三個根分別是：
x1 = 4
x3 = -0.2679491924311206
x2 = -3.7320508075688767
數集拓展到實數範圍內，仍有些運算無法進行，（比如對負數開偶數次方），為了使方程有解，需要將數集再次擴充。直到19世紀初，高斯系統地使用了i這個符號，並主張用數偶（a、b）來表示a+bi，稱為複數（complex number），其中a稱為實部，b稱為虛部，i稱為虛數單位( -1 開根)。對於x²+1=0的方程，x=±i是其根。
A complex number can be visually represented as a pair of numbers (a, b) forming a vector on a diagram called an Argand diagram, representing the complex plane. "Re" is the real axis, "Im" is the imaginary axis, and i satisfies i² = −1.
Geometrically, complex numbers extend the concept of the one-dimensional number lineto the two-dimensional complex plane by using the horizontal axis for the real part and the vertical axis for the imaginary part.
利用橫軸表示全體實數，那麼縱軸即可表示虛數。整個平面上每一點對應著一個複數，稱為複平面。橫軸和縱軸也改稱為實軸和虛軸。虛數a+b*i的實部a可對應平面上的橫軸，虛部b與對應平面上的縱軸，這樣虛數a+b*i可與平面內的點(a,b)對應。
i^n(n=0,1,2…)具有周期性，且最小正週期是4。
i^(4n)=1
i^(4n+1)=i
i^(4n+2)=-1
i^(4n+3)=-i
負數開根號也可以如同實數開根號一樣遵循一些同樣的法則：
i.e.
一元三次方程的全部解↓
一元三次方程可以通過其導數判斷其實根的個數及取值範圍。
通過盛金公式求一元三次方程：
The roots, turning points, stationary points, inflection point and concavity of a cubic polynomial x³ − 3x² − 144x + 432 (black line) and its first and second derivatives (red and blue).
有三個實根：
一元三次方程：f(x)=x^3+x^2-8x-12有三個實數根（其中兩個重實根）：
一元三次方程：3x^3+3x^2+1x+1/9有三個實數根（三重實根-1/3）：
一元三次方程：f(x)=3x^3+3x^2+x+1有一個實數根，2個虛數根：
f'(x)=9x^2+6x+1, f''(x)=18x+6
當一元三次方程f(x)=2x^3+2x^2+x+1的導數的方程無解時：
參考：
函數圖像在線生成：http://zuotu.91maths.com/
一元三次方程在線計算器：http://www.99cankao.com/algebra/cubic-equation.php
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