要追溯虚数（imaginary number）出现的轨迹，就要联系与它相对实数的出现过程。我们知道，实数是与虚数相对应的，它包括有理数和无理数，也就是说它是实实在在存在的数。
有理数出现的非常早，它是伴随人们的生产实践而产生的。有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数（可以表示为有限或为无限循环的数）的集合，整数也可看做是分母为1的分数。
有理数一词是从西方传来，在英语中是rational number，而rational通常的意义是“理性的”。中国在近代翻译西方科学著作，依据日语中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了“有理数”。但是，这个词来源于古希腊，其英文词根为ratio，就是比率的意思（这里的词根是英语中的，希腊语意义与之相同）。所以这个词的意义其实是指整数的“比”。与之相对，“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数，而并非没有道理。
例如，一个连长为1的正方形，对角线的长度就是一个无理数√2。
1545年意大利米兰的卡尔达诺发表了文艺复兴时期最重要的一部代数学著作，提出了一种求解一般三次方程的求解公式：
一般的一元三次方程可写成ax³+bx²+cx+d = 0 (a ≠ 0 )的形式。这个式子除以a，并设x=y-b/3a，则可化为如下形式：y³ + py + q = 0，其中p的值↓
其中q的值↓
所以讨论ax³+bx²+cx+d = 0 (a ≠ 0 )的解的问题，转而可以转变为讨论x³ + px + q = 0的问题。
当卡丹试图用该公式解方程x³-15x-4=0时他的解是：
在那个年代负数本身就是令人怀疑的，负数的平方根就更加荒谬了。因此卡丹的公式给出x=(2+j)+(2-j)=4。容易证明x=4确实是原方程的根，但卡丹不曾热心解释(-121)1/2的出现。认为是“不可捉摸而无用的东西”。
上面方程的三个根分别是：
x1 = 4
x3 = -0.2679491924311206
x2 = -3.7320508075688767
数集拓展到实数范围内，仍有些运算无法进行，（比如对负数开偶数次方），为了使方程有解，需要将数集再次扩充。直到19世纪初，高斯系统地使用了i这个符号，并主张用数偶（a、b）来表示a+bi，称为复数（complex number），其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位( -1 开根)。对于x²+1=0的方程，x=±i是其根。
A complex number can be visually represented as a pair of numbers (a, b) forming a vector on a diagram called an Argand diagram, representing the complex plane. "Re" is the real axis, "Im" is the imaginary axis, and i satisfies i² = −1.
Geometrically, complex numbers extend the concept of the one-dimensional number lineto the two-dimensional complex plane by using the horizontal axis for the real part and the vertical axis for the imaginary part.
利用横轴表示全体实数，那么纵轴即可表示虚数。整个平面上每一点对应着一个复数，称为复平面。横轴和纵轴也改称为实轴和虚轴。虚数a+b*i的实部a可对应平面上的横轴，虚部b与对应平面上的纵轴，这样虚数a+b*i可与平面内的点(a,b)对应。
i^n(n=0,1,2…)具有周期性，且最小正周期是4。
i^(4n)=1
i^(4n+1)=i
i^(4n+2)=-1
i^(4n+3)=-i
负数开根号也可以如同实数开根号一样遵循一些同样的法则：
i.e.
一元三次方程的全部解↓
一元三次方程可以通过其导数判断其实根的个数及取值范围。
通过盛金公式求一元三次方程：
The roots, turning points, stationary points, inflection point and concavity of a cubic polynomial x³ − 3x² − 144x + 432 (black line) and its first and second derivatives (red and blue).
有三个实根：
一元三次方程：f(x)=x^3+x^2-8x-12有三个实数根（其中两个重实根）：
一元三次方程：3x^3+3x^2+1x+1/9有三个实数根（三重实根-1/3）：
一元三次方程：f(x)=3x^3+3x^2+x+1有一个实数根，2个虚数根：
f'(x)=9x^2+6x+1, f''(x)=18x+6
当一元三次方程f(x)=2x^3+2x^2+x+1的导数的方程无解时：
参考：
函数图像在线生成：http://zuotu.91maths.com/
一元三次方程在线计算器：http://www.99cankao.com/algebra/cubic-equation.php
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