論數學老師是
怎樣教音樂的
Q：為什麼中國古代的音樂只有宮、商、角、徵、羽五個音，而西方是Do-Re-Mi-Fa-So-La-Ti七個音？這樣的差別又會對音樂本身產生怎樣的影響？
A：這個"只"字很微妙啊，似乎有種五音不及7音的感覺，黃鐘大呂瞭解一下，12音級...
音級越多越高級？沒有這回事。
某種程度上說音符是算出來的，音級可以任意多。。。
5個7個區別只在於迭代的次數不一樣。
往下算還能算出12個，這是現在常用的十二平均律的原型。
再往下算甚至可以有19個，53，665個等等，不過太多了沒法玩了...
這個問題問的非常好，從這個問題開始能講清楚倆最基本的概念：
音級和音程。聲音說到底就是振動，振動的速度可以用頻率表示。
現代研究表明，人耳的敏感程度與聲音頻率大致呈指數關係。
舉個例子：對人耳而言，220Hz 到440Hz之間的差距跟 440Hz 到 880Hz 之間相同。
所以就給他們相同的音名比如A，然後劃分為不同的音域。
雖然古人不懂物理和生物，但是他們還是不約而同依據經驗發現了這個現象。
每當聲音的頻率翻倍，那我們就記他為一個單位，西方叫八度，東方叫均。
現代研究又表明，同時發倆音的話，波形越有規律越好聽。
其實沒有最難聽，只有更難聽....
諤諤，數學上來說就是倆函數加和週期小，週期就是比值的最小公倍數唄：
參考文獻[^1]
古人同樣的，成功發現了這個道理，古人是不懂頻率，但是他們也可以聽出音高不是...
可是他們發現了一個 2:3 很好聽，這個今天叫做純五度。
好的，可是隻有兩個音太單調了不是，還能不能細分出更多的音呢?
於是就有了五度相生律，每次升純五度，產生一個音，因此得名。
基準音頻率設為 F，純五度很好聽，也就是
和基準音F組合的時候很好聽。
那麼同樣的道理
和
組合是不是也很好聽啊?
但是注意這個超過兩倍了，前面說了一個八度兩倍頻率，這裡超了。
那怎麼辦呢? 還記得頻率二倍感覺相似嗎? 那除二不就行了?
所以第三個音符算出來應該是
, 以此類推, 算n次的音符是
我們取前7個，排個序，給他7個編號就行，按現在的記法，習慣基準音選為C，那就是 CDEFGAB.
還沒完啊，憑什麼算7次，不多算也不少算?
你是可以隨便算幾次.
但你每次頻率按這個倍增至少要能回去不是?
如果取5個音乘起來，聽起來和倍增3次相似，壓回去聽起來還行.
取六個音，你準備怎麼壓，你說壓三次還是四次好....
同理如果是7個音近似的壓4次就好，12 個音樂，壓7次就好...
這是2000年前古希臘的畢達哥斯拉學派的成就。
下一次兩個指數偶遇要到41，41 其實不怎麼好，再下一次是 1.553 = 2151972563 ≈ 2147483648 ，程序員一眼就能看出後面是多少次方了>>逃...
2000年前西漢學者京房算出了這個...可是顯然沒人用的啊...
再下一次...
停，這個涉及丟番圖逼近，再說變成數學課了，難道現在還不夠像數學課嗎>>逃
其實很簡單的，就是求
的線性逼近，解由連分展開式所表達.
看到那些熟悉的數字沒，丟番圖，距今1800多年
好吧為什麼沒有7，這個更復雜了，因為最佳逼近要和周圍比，7 沒有12好，至於為什麼會這樣....
啊啊啊，就這樣，別逼我，我現在不想上數學課...
還有一個問題，為什麼非要壓回去，因為基準音沒有定死，這樣隨便你怎麼平移，這個倍數關係可以保持，你可以遷移到任意的調子上。
雖然現在定了 A1=440Hz，儀器甚至可以數出頻率，但古代那是隨便搞個東西敲下，然後按這個音高去配。所以可以想象，古代不同地方產的樂器是很難合奏的，基準音都不一樣。
同樣的，2400多年前，中國先民差不多發現了這個，春秋時期的結果。
《呂氏春秋·音律篇》記載了算到12的版本，成語黃鐘大呂聽說過吧，就是這個體系裡的，算到5的版本就是宮商角徵羽，算到7的有變徵，變宮啥的，別告訴我你背課文沒背到過這個詞...
喚起你沉睡的高考回憶>>
《荊軻傳》: 高漸離擊築，荊軻和而歌，為變徵之聲，士皆垂淚涕泣。
三分就是分成三份，損就是減少，所以是
，益就是增加，所以就是
，算法複雜，似乎沒有通式...
三分損益法只是思想和五度相生律類似，算法和結果都是不同的，不過很接近，畢竟樂理是相通的...
百度百科在讓我失望這件事上從來沒有令我失望過....
最後，作為一個現代人...告訴我怎麼按比例等分?
開方啊，不就等比數列嗎...
可幾千年前的古人沒法算開方，快速開方的算法至少要到500多年前對數的發明之後...
2開方是無理數，無理數的發明者，被上面的畢達哥斯拉學派扔進海里餵魚了...
按照開方的算的比率叫做十二平均律，大明王爺朱載堉靠喪心病狂的超大珠算搞定了這個東西，同年伽利略他爸也在算這個但沒算出來...
後來巴赫將十二平均律發揚光大，這是幾十年後的事情了
現在的七音默認是重新按照十二平均律標定的頻率.
否則會說明是五度相生律還是一種叫純律的古典常用律法還是民樂裡的某種律.
所以音符音級應該懂了，那麼音程也很好懂了.
其實就是倆音對數之差值唄.
在12平均律下，音程都是1/12，一般叫一個 半音
所以半音是十二平均律的說法，純八度，純五度，小二度這種是沿用五度相生律的說法
還有搞不明白升降調同不同為什麼總能吵起來，體系不同有啥好吵的：
五度相生律中升F不等於降G，音之間的間隔音程是不固定的(升降有兩種)
十二平均律下升F就等於降G，升降只有一種音程
十二平均律並不是絕對的更好，因為破壞了純五度這個古典時代非常重要的標尺，純五度算出來只有 1.498，還是個無理數，理論上，聽起來會微微的差那麼一點...
有沒有更細分的音呢?
有的，電子音樂可以無視種種物理缺陷，所以用的比較多，這叫微分音樂
聽起來更加細膩，突破了琴鍵的限制，再也沒有琴絃裡漏掉的音...
不過有的人就是喜歡聽物理缺陷，也挺難辦的，軟件還硬得模擬這種不完美...
參考文獻：
http://www.lpthe.jussieu.fr/~talon/MUSIC4.PDF
https://zh.wikipedia.org/zh-hans/%E5%8D%81%E4%BA%8C%E5%BE%8B
https://zh.wikipedia.org/zh-hans/%E6%B3%9B%E9%9F%B3%E5%88%97
https://www.zhihu.com/question/20417721/answer/361923555
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