赤裸裸的浪費

中國有五千年的文明，在這個過程中，不光留下了四書五經等儒學經典，唐詩宋詞等文學作品，也留下過許多數學和科學的著作。例如漢朝時成書的著作《九章算術》，總結了自秦代以來中國的數學成就，收錄了246個數學問題，涵蓋圖形、比例等內容，並提出了方程組和勾股定理的思想。魏晉時期的數學家劉徽的著作《九章算術注》彌補了《九章算術》缺少定義和證明的缺陷，又將中國數學向前推進了一大步。

問題出處

南北朝時期，中國又出現了另一部數學著作《孫子算經》，他的作者“孫子”並不是春秋時期的軍事家，具體身份已不可考。在這部著作中最著名的一個問題就是“雞兔同籠”問題。這個問題對整個世界的數學界都有很大影響，比如傳播到日本，就稱為“龜鶴算”。現在，雞兔同籠也收錄在我國的小學課本中。

雞兔同籠問題的原文是：“今有雉、兔同籠，上有三十五頭，下九十四足。問雉、兔各幾何？”

意思是說：現在籠子裡有雞（雉）和兔子在一起。從上面數一共有三十五個頭，從下面數一共有九十四隻腳，問一共有多少隻雞、多少隻兔子？

古籍解法

我們知道：雞和兔子都有一個頭，雞有兩隻腳，兔子又四隻腳。現在已知雞和兔子的頭數和腳數，求雞和兔子各有多少。孫子算經中也給出了算法：

“上置三十五頭，下置九十四足。半其足，得四十七。以少減多。”

我們來翻譯一下：

首先，將腳的總數除以2，即94÷2=47

然後，用這個數字減去頭數35，即47-35=12就是兔子的頭數。

於是雞的頭數自然是用總頭數減去兔子頭數，35-12=23只雞。

這個算法的原因在哪裡呢？我們來解釋一下。

首先，用腳數除以2的含義就是讓每隻動物的腳數都變為原來的一半。雞原本有兩隻腳，抬起一隻金雞獨立就好。兔子有四隻腳，需要把兩個前腿抬起來。這樣一來，每隻雞有1只腳，每隻兔子有兩隻腳，一共有94÷2=47只腳。

第二步，將腳數47減去頭數35得到12。這個意思是說：讓每隻動物的腳再減少1只。由於雞已經金雞獨立了，再減少一隻就坐在地上了。兔子還剩下2只腳，減少1只就是單腿站立了。

由於此時雞已經沒有腳了，而兔子只有一隻腳站在地上，所以這12只腳就代表了12只兔子。一共有35只動物，所以雞就是23只了。

總結起來，《孫子算經》的算法就是利用腳數的變換，將“雞2只腳、兔子4只腳”這個麻煩事變成“雞沒有腳，兔子1只腳”的簡單事。在《奔跑吧兄弟》中的男嘉賓包貝爾就是利用這種方法解決雞兔同籠問題的，瞬間圈粉無數。

方程解法

當然，用這種方法解決問題，還是有點複雜。每個問題都要重新分析和求解。在現代數學中，方程法是解決這種問題的利器。其實，在《九章算術》中就提出了“方程”的概念。只是，中國古代對於方程尤其是高次方程的解法還停留在數值解階段，沒有給出通用的解析解。

如果我們用方程法解決雞兔同籠問題，整個解法就變得非常傻瓜化了。

我們設雞有x只，兔子有y只，那麼雞有2x只腳，兔子有4y只腳，根據題目中的條件可以列出方程組：

這是一個二元一次方程組，它的基本解法是消元法，即把某個等式中的x或y消掉，求出另一個量來。

首先，我們對第二個方程兩邊同時除以2， 得到：

然後，我們再用這個新的方程與第一個方程兩邊做差

再把y=12代入第一個式子

我們會發現，孫子算經將腳數除以2再減去頭數的做法其實與方程解法中的首字母化成相同，再做差的方法如出一轍。只可惜，我們的數學研究多數以解決實際問題為主，而缺少更加普遍系統化的解法總結，西方數學家在這方面的工作則深刻的多。

也許，在許多國人看來，問題解決就好，不需要再花精力去研究純數學這種“無用”的知識吧。然而，許多一流的數學家都不是為了解決實際生產中的問題而研究數學，他們只是因為對數學的熱愛和興趣。而他們的成果卻在不經意之間、或在幾百年後，深刻的影響了世界。

留個作業

講了這麼多，是不是可以留個習題了？《九章算術》卷8種有這樣一個問題：

“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九鬥；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四鬥；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六鬥。問上、中、下禾實一秉各幾何？”

意思是說：現在這裡有上等黍3捆、中等黍2捆、下等黍1捆，打出的黍共有39鬥；有上等黍2捆、中等黍3捆、下等黍1捆，打出的黍共有34鬥；有上等黍1捆、中等黍2捆、下等黍3捆，打出的黍共有26鬥。問1捆上等黍、1捆中等黍、1捆下等黍各能打出多少鬥黍？

顯然，這是一個三元方程問題，大家可以嘗試著用算術法和方程法，把它解決。

李永樂老師

雞兔同籠是古代的趣題！在人教版四年級數學廣角有介紹相關內容。就二年級學生思維能力來講理解還是稍微吃力些。我是王老師，致力於小學數學的精品問答！我介紹兩種低年級學生相對比較容易理解的方法。希望能對您有所幫助，理解不了也不要強求，畢竟才二年級。

“雞兔同籠，有20個頭，54只腳，雞兔各多少隻？”

列表法

從一隻雞開始，逐個逐個試。把試的結果填入表格，直到滿足題目條件。這個方法笨是笨了點，但孩子應該可以容易理解。