諶海飛
這個叫中國剩餘定理或者孫子定理,出自我國南北朝時期的著名算術著作中.在大學裡屬於數論裡同餘的知識.我們可以用同餘的知識解決此問題.這句話說的是有一個數,除以3餘數是2,除以5餘數是3,除以7餘數是2,問這個數是幾?
要解決這個問題,首先我們得知道同餘的基本概念,設滿足題目的數為X,則題目的信息可以表示為以下幾個式子
上面構成的同餘式叫做一元線性同餘方程組,由中國剩餘定理可知,因為3、5、7是互質的,則同餘方程有解.其通解是由下方來構造的，首先我們看到中國剩餘定理,如下
我們根據上面這個定理來解決這個同餘方程.滿足題意的最小整數是23.
可以看出,當我們選擇不同的衍數時,就可以得到不同的數字了.當然也可以由得到的數字加或者減最小公倍數的整數倍就可以.上面可能理論性太強,看不懂.但下面是這個問題的通俗解法,可以對照著看一下.
其實,這個問題,明朝數學家程大位在裡用一首歌謠概括了它的解法:
"三人同行七十稀,五樹梅花二十一,七子團圓正半月,除百零五便得知."
其實它就是此問題的通俗解法.
中國剩餘定理是為數不多的享譽世界的定理之一,在密碼學中有非常重要的作用.我是學霸數學,歡迎關注!
學霸數學
題主小時候有沒有聽過一首歌謠：
“三人同行七十稀，五樹梅花二十一，七子團圓正半月，除百零五便得知。”
實際上這個歌謠是一個古老數學題的解法。
韓信點兵
在數學典籍《孫子算經》中，有許多著名的數學問題。其中最有名的是“雞兔同籠”問題。除此之外，另一個流傳很廣的經典問題，被後人稱為“物不知數”問題：
“有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二。問物幾何？”
意思是說：有一堆物體不知道有幾個。如果三個三個分組，最後會剩下2個；如果五個五個分組，最後會剩下3個；如果七個七個分組，最後會剩下2個。問這些物體一共有幾個？
後來，人們為了讓這個問題更具體化，就把它改編成“韓信點兵”問題。
有一次戰鬥後，韓信要清點士兵的人數。讓士兵三人一組，就有兩人沒法編組；五人一組，就有三人無法編組；七人一組，就有兩人無法編組。那麼請問這些士兵一共有幾人？
宋朝數學家秦九韶在《數書九章》中對這個問題做出了完整系統的解答。明朝數學家程大位在《算法統宗》中將解法編成易於上口的《孫子歌訣》，就是文初的那首歌謠。
同餘
現在我們一起來解決這個問題。首先我們來了解一下同餘的概念。a和b關於c同餘，意思是說a除以c和b除以c的餘數相同。例如：8÷5=1餘3，3÷5=0餘3，所以8和3關於5同餘，寫作8≡3（mod 5），其中mod讀作“模”。而且，由於3小於5，所以3本身就是3除以5的餘數，因此8≡3（mod 5）也可以理解為8除以5的餘數是3。
這樣，韓信點兵問題就可以表示為數學語言了。有一個數字x，除以3餘2，除以5餘3，除以7餘2， 那麼這個數字是多少？數學寫法是
對於這個問題，最基本的解法是窮舉法，就是把滿足每個條件的數字寫出來，然後找到相同的數字。
除以3餘數是2的數字有：2、5、8、11、14、17、20、23、26…
除以5餘數是3 的數字有：3、8、13、18、23、28…
除以7餘數是2的數字有：2、9、16、23、30…
我們發現，滿足三個條件的第一個數字是23。所以23是這個問題的一個解。
但是，這個問題的解並不是唯一的。3、5、7彼此互質，它們的最小公倍數是105。也就是說，105除以3、除以5或者除以7都沒有餘數。如果一個數字x是滿足要求的，那麼在x上加上幾個105都不會改變它對3、5、7的餘數。比如，23是滿足要求的，那麼23+105=128也是滿足要求的，23+210=233也是滿足要求的。
所以這個問題最後的解就是23+105n，其中n=0，1，2，3…
歌謠
那麼，程大位在《算法統宗》中的歌謠又是什麼意思呢？其實這個口訣是一個快速的算法，那就是：
三人同行七十稀：將除以3的餘數乘以70；
五樹梅花二十一：將除以5的餘數乘以21；
七子團圓正半月：將除以7的餘數乘以15（半個月）；
除百零五便得知：將以上三個數字相加，最後減去幾個105。
例如在“韓信點兵”問題中，除以3的餘數是2，除以5的餘數是3，除以7的餘數是2，那麼前三句話就是70×2+21×3+15×2=233，233減去105等於128，128減去105=23，那麼23、128、233等就都是這個問題的答案。
這個口訣的證明其實也並不難：
70這個數字是5和7的倍數，並且除以3餘1，也就是說，任何一個數添加一個70之後，不會改變除以5和7的餘數，但是會在除以3的餘數中多1。這樣如果所求的數字除以3餘2，就應該包含2個70，即70×2。
21這個數字是3和7的倍數，並且除以5餘1， 也就是說，任何一個數添加了一個21之後不會改變除以3和7的餘數，但是會在除以5的餘數中多1。這樣如果所求的數字除以5餘3， 就應該包含3個21，即21×3。
15這個數字是3和5的倍數，並且除以7餘1， 也就是說，任何一個數添加了一個15之後不會改變除以3和5的餘數，但是會在除以7的餘數中多1。這樣如果所求的數字除以7餘2， 就應該包含2個15，即15×2。
將以上三個數字相加得到233，就可以得到一個滿足條件：除以3餘2，除以5餘3，除以7餘2的數字。
105這個數字是3、5、7的公倍數，因此一個數字加上或者減去105之後，不會改變除以3、5、7的餘數，因此在剛才得到的233上添加或者減去幾個105，都是問題的解。
最終，通過口訣我們還是可以得到通解：23+105n，其中n=0，1，2，3…
中國剩餘定理
餘數問題是一個重要的數學問題，是計算機密碼學的基石之一。世界著名的數學家歐拉、高斯等人，都曾經研究過這個問題。中國古代的先賢在這方面取得了豐碩的成果。“韓信點兵”問題只是一個例子，這樣的問題有更加普遍和系統化的表示方法。而這個方法，就被世界稱為“中國剩餘定理”，是我國為數不多的獲得世界公認的古代數學成就之一。
李永樂老師
相信每個男人都有過“金戈鐵馬，氣吞萬里如虎”的想象
假如有一天，你穿越到楚漢相爭時期成為韓信......
話說秦朝末年，楚漢相爭。有一次，韓信帶領1500名將士與楚王大將李鋒交戰。苦戰一場，楚軍不敵，敗退回營，漢軍也死傷四五百人，於是，韓信整頓兵馬也返回大本營。
當行至一山坡，忽有後軍來報，說有楚軍騎兵追來。只見遠方塵土飛揚，殺聲震天。漢軍本來已十分疲憊，這時隊伍大譁。韓信兵馬到坡頂，見來敵不足五百騎，便急速點兵迎敵。
他命令士兵3人一排，結果多出2名；接著命令士兵5人一排，結果多出3名；他又命令士兵7人一排，結果又多出2名。
韓信馬上向將士們宣佈：我軍有1073名勇士，敵人不足五百，我們居高臨下，以眾擊寡，一定能打敗敵人。漢軍本來就信服自己的統帥，這一來更認為韓信是“神仙下凡”、“神機妙算”。於是士氣大振。一時間旌旗搖動，鼓聲喧天，漢軍步步進逼，楚軍亂作一團。交戰不久，楚軍大敗而逃。
那麼問題來了，韓信是如何知道將士的人數的呢？假如有一天，你穿越到古代成為韓信，身邊只有一臺裝有EXCEL的電腦，你能夠帶領將士殺出重圍嗎？
我們先把問題翻譯成數學語言：已知一個正整數X，1000 咋一看，用EXCEL似乎辦不到呀，我們先用一個笨方法來解決，窮舉！從1000驗算到1100，不就100個數嘛! 1000=3*333+1，一看就不對，下一個 1001=3*333+2，誒，對了，繼續，1001=5*200+1，不對...... Oh，My God，我佛真主耶穌保佑，這得算到何年何月！可這正是電腦擅長的呀，來看EXCEL是怎麼算的： 我們現在A列列出1000至1100的數字，然後分別在B，C，D列對3、5、7取餘數，如果餘數分別等於2,3,2就恰好得到了我們的將士人數， 公式為：=MOD($A2,B$1) 驗證公式為：=IF((B2=2)*(C2=3)*(D2=2),"將士總人數為："&A2,"不符要求") 這樣就求出了我們的將士總人數，借用EXCEL，你也可以帶兵打仗啦！ 解法一
解法二
有些同學可能會說，這樣求解表格太大了，不夠優雅，我們來個優雅的！在EXCEL中任意單元格輸入以下公式：
="將士總人數為："&SUMPRODUCT(ROW(1000:1100),(MOD(ROW(1000:1100),3)=2)*(MOD(ROW(1000:1100),5)=3)*(MOD(ROW(1000:1100),7)=2))
是不是超級神奇？這個函數的思路和上面的思路是一致的，都是枚舉法的運用，其計算過程可分為以下幾步：
第一步：ROW(1000:1100)：生成1000~1100的數組
第二步：用MOD函數分別對其取餘
第三步：當餘數同時滿足除3餘2，除5餘3，除7餘2時，即得到將士人數
本文涉及的函數主要有：
MOD，求餘函數，語法：MOD(被除數，除數)
IF，條件函數，語法：IF(邏輯條件，事件A，[事件B])，當邏輯條件為真時，返回事件A，反之，返回事件B
SUMPRODUCT，數組相乘再求和，語法：SUMPRODUCT(數組1，[數組2]......)
ROW,返回單元格的行號，語法：ROW（單元格引用）
本文涉及的函數都是基礎函數，結合起來卻有妙用，函數是基礎，算法思維才是根本，理解背後的邏輯，解題易如反掌！
問題延伸
“韓信點兵”問題又被稱為“中國剩餘定理”、“大衍求一術”、“鬼谷算”等，和《九章算術》中的“物不知數”問題為同類問題，屬於現代數論中求解一次同餘式方程組問題，
秦九韶所發明的“大衍求一術”，即現代數論中一次同餘式組解法，是中世紀世界數學的最高成就，比西方1801年著名數學家高斯（Gauss，1777—1855年）建立的同餘理論早554年，被西方稱為“中國剩餘定理”。秦九韶不僅為中國贏得無上榮譽，也為世界數學作出了傑出貢獻。若您有興趣，可作進一步瞭解！
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Excel精選技巧
首先可設： A＝3×5×7＝105，B＝3×5＝15，C＝3×7＝21，D＝5×7＝35。
15為3、5整除而為7除餘1，故配以係數2，2B＝30為7除餘2；
21為3、7整除而為5除餘1，故配以係數3，3C＝63為5除餘3；
35為5、7整除而為3除餘2。
從而：2B＋3C＋D＝128 必是為3除餘2，為5除餘3，為7除餘2的數。
但這不是滿足要求的最小自然數。
容易得知：128－A＝128－105＝23也必然是滿足要求的自然數，並且是其中最小的。
事實上，所有自然數x＝23＋105k都滿足要求。
以上就是根據中國剩餘定理的標準解法；屬於初等數論裡的內容。真正能理解的人會發覺非常妙。這是數學裡最優美的一個基礎定理，不在於其公式的形式而在於思想。若用公式化表述是很繁瑣的，這裡就不贅述了。
化用中國剩餘定理的基本精神，具體到這道題，還可以有如下的簡便算法：
三三數之剩二的最小自然數是5；
令5加上一個最小的3倍數直至為5除剩3，於是得8；
令8再加上一個最小15倍數直至為7除剩2，於是得23。
這個解法才是正確打開的小學算術解，也是絕大多數大人也掌握不好的小學算法。
建章看世界
這個數是21（5m+1）+2，m為自然數，即這個數最小為23。
雖然沒學過孫子定理和中國剩餘定理，但是用我那微薄的數學基礎也能解呀。
解題思路：
根據題意：三三餘二，五五餘三，七七餘二，
說明這個數減去2後是3、7的倍數，即21的倍數，設這個數為x，則：
x=21n+2，式中n≥1
又因為這個數除以5餘3，所以這個數的尾數為3或8
也就是說21n+2的尾數為3或8；
當n為1、11、21、31……可表示為10m+1（m為自然數），尾數為3，滿足條件；
當n為6、16、26、36……可表示為10m+6即5m+1（m為自然數），尾數為8，也滿足條件
綜上，n為5m+1（m為自然數）時，滿足尾數為3或8的條件。
即這個數為21（5m+1）+2，m為自然數。
小黑小黑Luo
感謝邀請，頭條君怎麼知道我喜歡數學呢？就憑我零星的碎片化記憶試著解答下：
t=3x+2=5y+3=7z+2
則3x=7z=t-2
也就是說這個t-2是21的倍數，我們就可以假設t-2為21 42 63 84 105 126等，
而且這個t-2還要是5的倍數+1，所以呢t-2=21，126......21的5n+1倍都是合適的數值。
那麼這個t-2=21(5n+1)
則t=21(5n+1)+2
生活中有你更美
我也不知道怎麼回事，可以通過列舉法得出第一個數23，然後3/5/7的最小公倍數是105，可以把105看成公差（我也不知道咋回事），所以通項公式是y＝105x＋23，具體我也不知道怎麼回事，你可以問問老師。
小潘隨手拍
這個是韓信暗點兵的算法。相傳韓信布兵打仗，回來後兵卒報剩餘人數就是用數三餘幾，數五餘幾，數七餘幾彙報。這是有口訣的。口訣如下：
數三剩一念七十，五馬分屍二十一，夫妻團圓整半月，加減百五是正時。意思是說，當三三數餘一時，這個數計作七十。當五五數餘一時，這個數計作二十一，當七七數餘一時，這個數計作十五。然後用各自的計數乘以各自的餘數得到的積相加的總和數，減去一百零五便是正數了。解釋起來麻煩。以上題為例：三三剩二，即70X2＝140，五五剩三，即21x3＝63。七七剩二，即15X2＝30。140十63十30一105一105＝23。23便是上題的答案。為什麼要減兩次105呢？是因為求的最小值😊😊。
夜數繁星
太簡單，三的餘數乘5*725的積乘2加5的餘數乘3與7的積21加7的餘數成3和5的積15的和減去3.5.的積105的倍數，為什麼不乘35呢？因為35除三得70除3餘1...21除5餘1.15除7餘1正好是本系數的整數倍，可以推廣到其他三個互質數。講得不明白請原諒。
135aaa
題：除3餘2，除5餘3，除7餘2。
除3或7都餘2，且3和7的最小公倍數為21，所以此數等於21a+2（a為自然數），除5餘3，則此數也等於5b+3。所以21a+2=5b+3☞☞a=5(b-4a)+1☞☞令k=b-4a則a=5k+1☞☞n(此題所求數之值)=105k+23☞☞b=21k+4
最終答案：n=105k+23（k為任意自然數）
最小數為23。
