To be or not to be?這是一個問題。自然數1、2、3、4會在一個香蕉、兩個蘋果中被探測到，故自然數可以視作數學抽象。虛數呢？虛數i是不是真實存在的，這似乎不是一個顯而易見的問題。今天我們就一起來探究一下虛數i。虛數i產生的緣由？虛數i的本質是什麼呢？虛數i的物理意義又是什麼呢？
從數系的擴充看虛數i
數系的擴展過程直觀上來說就是給數軸“填坑”的過程。
自然數出現是挺自然的，1個蘋果、2個香蕉去掉蘋果、香蕉則剩下1、2，就是數學的初步抽象。
由於人們在生活中經常會遇到各種相反意義的量。比如,在記帳時有餘有虧;在計算糧倉存米時,有時要記進糧食,有時要記出糧食。為了方便，人們就考慮了相反意義的數來表示。於是人們引入了正負數這個概念，把餘錢進糧食記為正，把虧錢、出糧食記為負。古印度則在公元876年則有了關於0的最早記載，歐洲許多數學家都同意這一觀點。事實上，公元6世紀，印度人就開始用“·”表示空位，後來變成了一個圓圈。到了公元九世紀就固定成了今天的“0”
這個時候數軸上有沒有坑呢？當然有了。一個半蘋果，半個蘋果該如何表示？
於是就有了整數與整數的比就是有理數。有理數這個名字翻譯的有點意思，英文是rational number，可是翻譯為”比例數“（就是整數和整數的比），不是更形象直接嗎？
有了整數和有理數之後，數軸還有沒有坑？這個問題是有必要思考的。任何兩個有理數，比如說0.5和0.7，平均值0.6還是有理數，不論這兩個有理數之間隔得有多近。就是說任何兩個有理數之間不可能相鄰，他們之間必定還有有理數。看起來就彷彿在數軸上連綿不斷。
是第一個發現的無理數，因此還引發了第一次數學危機。
到此為止數軸上沒有有坑了。有理數、無理數統稱為實數，實數是連續的，故數軸上不可能再出現別的數了。那麼，虛數從何而來呢？我們該如何理解虛數i呢？
虛數開始是數學家的玩具：古代的數學家也和我們一樣，也玩24點，意大利米蘭有個數學家叫做卡當，出了一個題，能否把10分成兩部分，讓它的乘積為40。他給出的答案
，這裡負數第一次出現在了根式裡，不過就好像幾何題劃的輔助線一樣，雖然參與運算，但是並沒有意義。數學家也不可能給輔助線專門定義一個概念。
虛數
，這個就是i的定義。
聽它的名字就感覺它是“虛”的，我們知道：
從自然數擴張到整數：增加的負數可以對應”欠債、減少”
從整數擴張到有理數：增加的分數可以對應“分割、部分”
從有理數擴張到實數：增加的無理數可以對應“單位正方形的對角線的長度（
）”
從實數擴張到複數：增加的虛數對應什麼？
虛數似乎只是讓開方運算在整個複數域封閉了（即複數開方運算之後得到的仍然是複數）。看起來我們沒有必要去理會
到底等於多少，我們規定
沒有意義就可以了嘛，就好像
一樣。
我們來看一下，一元二次
的萬能公式：其根可以表示為
，其判別式為
。
關於有兩個不同的複數根，其實規定為無意義就好了，為何會出現這種情況呢？
我們再看一下，一元三次方
，一元三次方程的解不是我們今天討論的重點，大家感興趣的話可以參考網絡。
我們討論一下
，其根可以表示為：
，此時，一元三次方程可以化為
要想求解三次方程的根，就繞不開復數了嗎？會不會這只是求根的方法之一？這個也被證明了，確實需要通過複數來求解實數根。
因此，虛數是因為解三次方程的根應運而生的。
虛數i的本質與物理意義
虛數這個名字，指出了一點，虛數在現實中沒有對應物的，是一個人工數。
萊布尼茨就曾說：虛數是神靈遁跡的精微而奇異的隱秘所，它大概是介於存在與不存在之間的兩棲動物。
連大神都這樣形容虛數，然而各位朋友是否還記得當初老師是如何跟我們講虛數的嗎？
是不是直接說 i²= -1呢。然後順便說了
關於 i 的定義，首先，我們在實數軸上標好1和-1。
現在我們將數軸的正向部分，繞著原點逆時針旋轉180°，這樣，+1就變成了-1。
那如果我們分開兩次來旋轉，就變成了這樣：
這時，你是不是已經發現數軸上的那一個小小的i了？
事實上，i的本質是單位週期結構最基本形式，它並不是一個數，確切地說就是一個旋轉量。
而關於這個旋轉量，根據上面所說的旋轉變換，我們可以列出這個關係式：
1·(逆時針旋轉90°) ·(逆時針旋轉90°) = -1
即(逆時針旋轉90°)²= -1。
現在我們將"逆時針旋轉90°記為 i ，終於得出了老師們講的i²= -1。因此，i就是意味著逆時針旋轉90°，-i 就是順時針旋轉90°。
下面這個圖就很直觀的表達了關於i的運算。
也許會有人覺得困惑：為什麼要給-1開平方？這樣轉換來轉換去的到底有什麼用？
別急，我們先講講複數的定義。現在，我們將縱軸作為虛數軸，橫軸作為實數軸。
如果我們不是旋轉90°，而是旋轉45°的話，就得到了1+i 。
任意實數旋轉某一個角度所得到的點就用a+bi來表示，這就是複數的定義式。
虛數的引入，大大方便了涉及到旋轉的計算。
比如，物理學需要計算“力的合成”。假定一個力是 3 + i ，另一個力是 1 + 3i ，請問它們的合成力是多少？
根據“平行四邊形法則”，合成力就是 ( 3 + i ) + ( 1 + 3i ) = ( 4 + 4i )。
這就是虛數加法的物理意義。
如果涉及到旋轉角度的改變，處理起來更方便。
假設我們現在一艘船上，船的航向是3 + 4i ，我們現在將船的航向逆時針旋轉45°，那麼，我們最新的航向應該如何表示？
45°的航向就是1 + i 。計算新航向，只要把這兩個航向 3 + 4i 與 1 + i 相乘就可以了。（為什麼要相乘呢？）
所以，新的航向就是 -1 + 7i 。
這就是虛數乘法的物理意義：改變旋轉角度。
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