皮亞諾曲線
一般地，人們總是認為一條曲線的維數是一，而一張平面的維數是二。然而這僅僅是人們直觀的認識。我們認為：沒有嚴格數學描述的結論很可能是靠不住的。
一直到 19 世紀中葉微積分嚴密化以前, 曲線始終是幾何學中的一個自明的原始概念. 平面上一條所謂的連續曲線, 被人們想象成一個動點在平面上連續運動時的軌跡. 事實上, 這種直觀的且帶有物理色彩的曲線概念妨礙了對它所作的精細研究.
按照我們的幾何直覺,一條曲線只有長度而沒有寬度和厚度, 因此, 任何一條曲線都不可能把一塊麵積填滿. 然而,意大利數學家皮亞諾 (G.Peano, 1858-1932) 卻在 1890 年構造出一條連續的曲線恰好能填滿一整塊正方形。這一結果引起了整個數學界的震驚. 這一例子帶來了矛盾：從曲線的角度來看，正方形是一維的；而從平面的角度來看，正方形又是二維的。這說明人們直觀的維數概念是靠不住的，維數需要有嚴格的數學描述。
按照法國數學家若當(C.Jordan, 1838-1922)的定義,一條平面曲線是由下述兩個方程
所給出的點 (x,y) 的集合. 如果兩個參數函數 φ 和 ψ 關於自變量 t 都連續, 則稱所定義的曲線為連續曲線. 具體來講, 皮亞諾構造出兩個連續函數 φ 和 ψ, 使得相應的連續曲線能通過一個給定的單位正方形中的每一點 (包含邊界上的點)。
繼皮亞諾之後,人們又發現了許多也能填滿整個正方形的連續曲線,有的甚至是處處沒有切線的。現在, 這類曲線統稱為皮亞諾曲線。雖然希爾伯特對皮亞諾的曲線作了簡化,給出了它的直觀構造.但總的來說，皮亞諾曲線的定義仍然較為複雜。因為他超出了人們的直觀想象，因此每一條皮亞諾曲線的形態註定和傳統曲線不一樣。事實上，所有的皮亞諾曲線的構造都充滿了“無窮”的思想，而超出了人們直觀想象的結果往往都隱藏在“無窮”這個地方。
自從有了微積分，人類便有了處理“無窮”的工具，她使得人類可以擺脫直觀的束縛，一點一點地揭開隱藏在“無窮”背後的秘密。
閱讀更多 數學與控制論學習筆記 的文章
