皮亚诺曲线
一般地，人们总是认为一条曲线的维数是一，而一张平面的维数是二。然而这仅仅是人们直观的认识。我们认为：没有严格数学描述的结论很可能是靠不住的。
一直到 19 世纪中叶微积分严密化以前, 曲线始终是几何学中的一个自明的原始概念. 平面上一条所谓的连续曲线, 被人们想象成一个动点在平面上连续运动时的轨迹. 事实上, 这种直观的且带有物理色彩的曲线概念妨碍了对它所作的精细研究.
按照我们的几何直觉,一条曲线只有长度而没有宽度和厚度, 因此, 任何一条曲线都不可能把一块面积填满. 然而,意大利数学家皮亚诺 (G.Peano, 1858-1932) 却在 1890 年构造出一条连续的曲线恰好能填满一整块正方形。这一结果引起了整个数学界的震惊. 这一例子带来了矛盾：从曲线的角度来看，正方形是一维的；而从平面的角度来看，正方形又是二维的。这说明人们直观的维数概念是靠不住的，维数需要有严格的数学描述。
按照法国数学家若当(C.Jordan, 1838-1922)的定义,一条平面曲线是由下述两个方程
所给出的点 (x,y) 的集合. 如果两个参数函数 φ 和 ψ 关于自变量 t 都连续, 则称所定义的曲线为连续曲线. 具体来讲, 皮亚诺构造出两个连续函数 φ 和 ψ, 使得相应的连续曲线能通过一个给定的单位正方形中的每一点 (包含边界上的点)。
继皮亚诺之后,人们又发现了许多也能填满整个正方形的连续曲线,有的甚至是处处没有切线的。现在, 这类曲线统称为皮亚诺曲线。虽然希尔伯特对皮亚诺的曲线作了简化,给出了它的直观构造.但总的来说，皮亚诺曲线的定义仍然较为复杂。因为他超出了人们的直观想象，因此每一条皮亚诺曲线的形态注定和传统曲线不一样。事实上，所有的皮亚诺曲线的构造都充满了“无穷”的思想，而超出了人们直观想象的结果往往都隐藏在“无穷”这个地方。
自从有了微积分，人类便有了处理“无穷”的工具，她使得人类可以摆脱直观的束缚，一点一点地揭开隐藏在“无穷”背后的秘密。
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