原題：
已知拋物線y=x²+bx-3(b是常數)，經過點A(-1,0)
(1)求拋物線的解析式和頂點座標；
(2)P(m,t)為拋物線上的一個動點，P關於原點的對稱點是P'
①當點P'落在該拋物線上時，求m的值；
②當點P'落在第二象限內，P'A²取得最小值時，求m的值。
接上一期文章《常規解題套路解決無配圖二次函數壓軸題》，感覺難度適中，特別是最後一問，不足以承擔起壓軸題區分度的重任，於是便思索著改編它，早上與組內代老師、楊老師、劉老師一起研討後，改出了兩個方向：面積最值和直角三角形存在性討論。
面積最值
(3)如圖，當點P在第四象限時，點B、C為拋物線與座標軸的另兩個交點，連接P'B和P'C，求△P'BC面積的最大值。
常用方法是表示出點P'的座標，然後將△P'BC的面積表示出來，很容易想到，缺點是計算量較大，如果採用拋物線與直線“相切”的思路，無疑更為簡潔一些。
由於點P與P'關於原點對稱，且BC為定線段，則點P到BC的距離與點P'到BC的距離之比相等，具體比值並不重要，只要點P到BC距離最遠，那麼點P'到BC距離也一定最遠，此小題中，點P被限制在第四象限內，即在線段BC下方的拋物線上，因此我們只需要找一條直線，從拋物線右下方“靠近”至與拋物線“接觸”即可，設這條直線為y=x+n，與拋物線解析式聯立得x+n=x²-2x-3，這個一元二次方程有兩個相同的實數根，意味著△=0，求得n=-21/4，然後再求出點P座標，最後由中心對稱得出點P'座標。
△P'BC的面積求法也有兩種，一種是求出點P'到BC的距離，然後利用三角形面積公式，或者採用割補法。
真角三角形存在性問題
(3)若以點P'、B、C為頂點的三角形為直角三角形，且BC為直角邊，求此時點P的座標。
先考慮點P'到底怎樣運動，它與點P是中心對稱圖形，而點P在拋物線上運動，由此猜想點P'也應該在某條拋物線上，事實上也是，並且點P'所在拋物線的解析式為y=-x²-2x+3，於是我們可以BC為直角邊，在點B與點C處分別作垂線，看這兩條垂線與點P'所在拋物線的交點有幾個，這些點即為所求的點P'，最後再求點P。
BC的解析式極易求得，為y=x-3，過點B、C的垂線分別為y=-x+3和y=-x-3，將它們分別與y=-x²-2x+3聯立，即可求出點P'座標，共有四個。
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