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好書推薦｜簡單微積分：學校未教過的超簡易入門技巧

今天給大家給推薦一本微積分入門科普讀物《簡單微積分：學校未教過的超簡易入門技巧》，該書以微積分的“思考方法”為核心，以生活例子通俗講解了微積分的基本原理、公式推導以及實際應用意義，解答了微積分初學者遭遇的常見困惑。本書講解循序漸進、生動親切，沒有煩瑣計算、乾澀理論，是一本只需“輕鬆閱讀”便可以理解微積分原理的入門書。

該書的作者神永正博，之前介紹過他的另一本《數學思考法：解析直覺與謊言》也是一本非常不錯的數學科普讀物。

以下是我們的摘錄該書部分內容，已獲「圖靈新知」授權。

前言

如書名所示，本書是一本微積分入門書。雖然是入門書，不過寫到後面，卻發現內容已經相當有深度。

這樣的話，或許你會想：“是不是先得準備紙和鉛筆？”

不用，我們不需要紙和鉛筆。本書是一本只需要“讀”的微積分入門書。請輕鬆地來閱讀吧。

說起微積分，大家有什麼印象？想必很多人會聯想到棘手的計算吧。甚至還會有人想到這種情景——在學校的考試中，只是因為計算稍稍出錯，就被大幅扣分，悽慘至極。

哎呀，這位姑娘似乎認為解決微積分問題，只要套用背誦的公式就足夠了。這就是那種在學校的考試中掌握了應試要領的典型人物。

不過，對於如何看待微積分，還存在像上面這位博士一樣的一類人，他們的看法在某種意義上略顯偏激。這種人在學校裡可能難以被認可，不過在社會中似乎能生存下去。

本書講解微積分選擇的是這位博士的立場。因為我認為，雖然會計算微積分更好，但最開始學習微積分時，重點並不在計算上。

數學家是擅長數學的人，所以他們也很擅長計算吧？不，不一定是這樣的。令人意外的是，數學家不僅會有不少單純的計算失誤，而且也常常會在思路上出現錯誤。

創立了組合拓撲學的天才數學家亨利•龐加萊也是經常犯錯誤的，據說就連他的論文中也存在不少錯誤。

但是，龐加萊思考的方向在本質上是準確無誤的。只要思考的方向正確，即使稍微出點兒差錯，對整體而言也並不是致命的。在學校，考試之所以依據計算結果的正確與否來確定成績，是因為根據思路來給分數比較困難。

我喜歡南方的國家，2010 年曾在印度生活了一年。在金奈（Chennai，舊稱 Madras）的一所數理科學研究所做研究時，深深吸引我的不僅是印度這個國家，還有印度人的研究方法。

其中令人驚訝的是，印度的研究者不怎麼計算。當然，並不是完全不計算，而是與計算相比，他們在思考上花費的時間更長。我甚至懷疑他們這樣是不是為了節約紙。“只要有紙和鉛筆能夠做研究”是數學家的口頭禪，但是印度人可能會笑道：“難道最重要的不是用腦子嗎？”在印度的經歷讓我切身體會到，數學研究中使用的是頭腦。

印度數學家是在頭腦中計算的嗎？畢竟他們可是一群能夠背誦20×20 的乘法口訣表的人。你可能會認為，他們用心算來計算肯定是小菜一碟。

但是，事實並非如此。印度的數學家會憑感覺來思考。在進行最後計算之前，他們首先用感覺思考，尋找正確的解題思路，這個階段非常重要。如果能在思考階段找到正確思路，之後總會有辦法解決計算問題。

同樣，本書的側重點也放在了“思考的要領”上，我認為這是微積分的本質。比如，第 1 章中幾乎沒有出現積分符號。你可能會擔心，不用積分符號的話是否能夠真正理解相關內容。其實，先在第 1 章中接觸微積分的本質內容，第 2 章之後出現的公式、算式將會意外地變得易於理解。

略微談點兒抽象的內容，其實微積分的本質在於方法。簡單說，如果抓住思考的“要領”，那麼就能輕而易舉地理解複雜算式。思考的方向找對了，之後只要根據需求掌握計算技術就可以了。相反，如果不能掌握思考要領，直接從計算技術入手的話，微積分的學習便如同咀嚼沙子一般變成了苦澀的修行。

即便你對計算不是特別明白，也沒必要在意；或者一點兒也不明白，也沒有關係。讓我們放鬆下來，輕鬆地去探索微積分的本質吧！

以下是該書的第一章第一節。

積分存在的意義

積分應用的基礎

小學所學的圖形面積、體積的計算，實際上是與積分世界相連通的。積分並不是高中教材中突然半路殺出的“程咬金”，初等教育中相關內容的學習，已經為邁入積分世界做了充分的熱身。

而對於微分，大部分人都感覺不是很熟悉。說起微分，就會提到“切線斜率”“瞬時速度”“加速度”，這些內容怎麼理解

都很難懂。這些東西我們無法直接用眼睛看到，很難直觀上去把握。

從歷史上來看，積分比微分要更早出現。

積分法的起源是“測量圖形的大小”。古時候圖形長度、面積、體積的計算方法，通過口傳心授得以流傳，經過歷代人的智慧的錘鍊，進而發展成為現在的積分法。

探尋積分法誕生的歷史，大致可以追溯到公元前1800年左右。公元前200年的阿基米德時代，在計算拋物線和直線圍成的圖形面積問題上，已經出現了與現在積分法十分相似的“窮舉法”。積分的歷史，還真是悠久。

到了12世紀，印度的婆什迦羅二世提出了積分法的“前身”方法。進入17世紀，牛頓綜合了微分法和積分法，嘗試從萬有引力理論來推導天體的運動規律。

總之，從積分出現到微分誕生，至少有長達1300年的間隔。

積分之所以會較早出現，是因為人類需要把握那些可見的東西，例如計算物體的面積、體積等。

初等教育中的圖形計算，通常只針對長方形、圓形等規規矩矩的圖形。而現實情況中，這些知識往往難以直接去應用。

這是因為，現實世界中存在的物質，並非都是學校中學習的那些規則的形狀。相反，那些規則的形狀可以說只是例外或理想化的情況。所以，對人類而言，測量現實情況中各種複雜圖形大小的技術非常必要。

日本小學的家政課會講授烏冬麵、土豆塊等簡易料理的烹飪方法。之所以特地在學校中講授這些內容，是因為這些都是烹飪中的基礎方法。實際上我們自己做菜時，多會在商店中購買成品的烏冬麵，也基本不會頻繁烹製土豆塊。但是，如果掌握了這些基礎烹飪方法的話，就能夠烹製出更多複雜的菜品。例如，烏冬麵的烹飪方法可以運用到麵包、比薩或者意大利麵中，從土豆塊中學到的方法可以拓展到土豆沙拉或者油炸餅中。

如果把在小學初中學的長方形、圓形的知識比作烏冬麵、土豆塊，那麼微積分就相當於麵包、土豆沙拉等應用性料理。多虧有了積分法，人類才能夠計算各種圖形的面積和體積。使用積分，無論是多麼奇怪的形狀，只要下功夫就能夠計算出結果，這真是巨大的進步。

將思考應用於實際，用自己的力量去推導面積、體積，這才是積分的樂趣，也是學習積分的真正意義。

所有圖形都與長方形相通

圖形的種類紛繁多樣，其中面積計算最為簡單的就是“長方形”了。

說到這裡，大家是不是想起了小學時初學面積計算的情景？在圖形面積計算中，三角形、平行四邊形、梯形、圓形等圖形都是放到長方形之後學習。長方形的面積僅用“長×寬”就可以計算，可以說是最簡單、樸素的圖形。順便提一下，在數學世界中，正方形被看作是“一種特殊的長方形”。

掌握長方形面積的計算方法後，就可以將其應用到三角形的面積計算中。反過來說，如果不知道長方形面積的計算方法，也就無法計算三角形的面積。

這是因為，三角形的面積可以看作是“以三角形的一條底邊為邊長、該邊上的高為另一邊的長方形面積的一半”。根據圖2可知，三角形的面積正好是對應長方形面積的一半，也就是說“三角形的面積=底×高÷2”。

那平行四邊形是什麼情況呢？平行四邊形可以看作是兩個以平行四邊形的邊為底邊的三角形的組合。

梯形的情況又如何呢？梯形可以看作平行四邊形的一半。如圖4所示，兩個相同的梯形並列組合形成了平行四邊形。因此，梯形的面積也是以長方形為基礎計算的，為“（上底+下底）×高÷2”。

從三角形到平行四邊形，再到梯形，雖然這三個圖形看上去沒什麼直接關聯，但它們的面積公式都是以長方形面積為基礎推導出來的。

近似的方法

在小學算術課上，大家有沒有做過下面這樣的事情呢？如圖5所示，用圓規在方格紙上畫一個圓，然後數出圓中方格的個數。之後，再畫幾個大小不同的圓，並數出這些圓中方格的個數。

這項作業實際上與圓的面積公式相關。圓的面積公式是“半徑×半徑×3.14”，其中的3.14是圓周率的近似值，而“嘗試數方格的個數”就是一種講解圓周率推導的方法。

在這裡，我們來重新回顧一下這種方法。

先來數一數圖6中，半徑為2 cm的圓中有多少個方格3（方格的邊長為1 mm）。雖然這種方法有些不精確，但是能讓小學生更容易理解。

圖6圓中的方格共有1189個，用面積表示的話為11.89 cm²。

圓的面積公式是“半徑×半徑×圓周率”。在方格實驗中，我們的目的是求圓周率，所以可以把這個公式變形，得到“圓周率=面積÷（半徑×半徑）”。在圖6的例子中，圓的半徑為2，所以用面積除以2的2次方4，得出圓周率為2.972 5。

與3.14相比，這個結果太小了。雖然有些遺憾，但實驗就是這樣的。即便如此，我們也會明白一件事情，即“圓周率，也就是π，粗略來說是接近3的數”。

再細分方格或者把圓變大的話，圓內方格面積的和，就會逐漸接近圓面積公式“半徑×半徑×3.14”，也就是說，圓周率

會逐漸接近3.14。像這樣，把圓的面積替換成方格的數量，逐漸求得接近待求值的方法叫作“近似”。我在小學時也做過這個實驗，數十年後的今天，我仍然清晰記得努力數完方格得出答案後，內心中洋溢的滿足感。

順便說一下，或許有人會產生以下疑問。

博士的回答是老師的常用手段，但是稍微有些糊弄的成分。因為這種回答還會遺留下面的疑問。

“不在意這些縫隙”具體是什麼意思？事實上，不管是在意還是不在意，縫隙總是會存在的，不是嗎？

這個疑問看上去似乎很無聊，但在高等數學中卻是一個很有意思的問題。從結論上來講，為了解決上述疑問，我們有必要使用“夾逼定理”（兩邊夾定理），從圓的內部和外部都取近似來研究圖形。即先計算出“圓內部的方格數”對應的圓周率，然後再用同樣的方法，計算出“包含圓邊界的方格數”（內部方格數加包含圓邊界的方格數）對應的圓周率。這樣一來，我們可以得到下面的結論：

圓內部方格數對應的圓周率＜圓實際的圓周率＜包含圓邊界的方格數對應的圓周率

如果將方格不斷替換為更小的方格，“圓內部方格數對應的圓周率”和“包含圓邊界的方格數對應的圓周率”，二者的數值會慢慢接近，都接近圓實際的圓周率，這就是“夾逼定理”。

如果對“夾逼定理”感興趣，可以再讀一讀《微積分強化讀本》（柴田敏男著／講談社）等書，可以從中獲得一些專業知識。

本書中此話題暫且到此為止。在微積分中，不拘小節的精神同樣重要。

圖7是小方格組成的與圓近似的圖形。左邊是大方格，右邊是小方格。通過這兩個圖大概可以明白“把粗糙的圖形精細化，就會接近實際圖形（圓）”。精度非常高的鋸齒狀圖形，實際上很難在視覺上與平滑圖形區分出來。

電視、電腦的液晶顯示器，都是使用這個原理來顯示畫面的。液晶顯示器顯示的畫面實際上是鋸齒狀的。但是顯示器中鋸齒的精細度非常高，所以我們眼中看到的就是平滑的線了。

我們也可以這樣說，圓形實際上是由無數精細小方格組成的鋸齒狀圖形，即圓形是鋸齒狀圖形的“極限”。像這樣，“近似”在數學中是極其好用的方法。

如果執著於完美再現平滑的線，那麼就不會出現液晶顯示器吧。多虧了非完美主義的近似方法，才誕生了劃時代的技術。

和變為了積分

計算圓的面積時，小學中採用的方法是用“正方形”來劃分圓的內部空間。這樣做的原因實際上很簡單，就是因為方格紙的方格是正方形。

求圓的面積，要領是精細地劃分圓。也就是說，劃分的形狀應該不限於正方形。因此，我們可以把圓分成“細長的短條”來求面積。比如圖8，我們嘗試把圓分成細長的短條，也就是長方形的組合。

雖說如此，但既然說到了符號，從現在開始我們就嘗試使用積分符號吧。公式也會從此處開始出現，不過內容和剛才的講解是完全一致的，所以請輕鬆地讀下去。和業界人士使用行業術語講話一樣，使用數學符號講解數學，相同的內容在表達上也會看起來非常優雅。

在圖9中，我們把圓裁切成非常窄的短條。水平方向為x軸。這時，圓的裁切方向和x軸正好是垂直關係。

在此基礎之上，我們選取一條寬度為Δx的短條。Δ是希臘字母，讀作“德爾塔”（Delta），多用作“差”（difference）的符號，表示非常小的數值。

現在，我們用公式來表示這條短條的面積。

短條的面積=短條在x值對應的長度×Δ_x

若問為什麼要算出短條面積，這是因為我們要從這裡開始計算圓的面積。把這些細長短條的面積相加，就是圓的面積。具體來說，把從左端到右端的短條全部相加就可以了。

在這裡，我們逐漸縮小短條的寬度，縮小到再也不能縮小的程度。這樣一來，短條與其說是長方形，倒不如說看起來更像“一條線”。無數根“線”相加，其結果逐漸接近“圓的面積”。用積分符號來表示的話，可以寫成以下形式。

公式中那個像把字母S縱向拉長的符號音同integral（積分）。積分原本就是“和”的意思，因此積分符號也是取自拉丁語中“和”的單詞Summa的首字母S。這是一位叫作萊布尼茨的數學家（兼哲學家）提出的。

在此簡單補充一點兒德爾塔（Δ）和d的內容。

Δ和d，這兩個符號都源於“差”（difference）。二者的不同之處在於，Δ是“近似值”，而英文小寫字母d是“精確值”。

“精確值”是什麼意思呢？例如圓周率π，3.14是其近似值，無限循環的3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279…就是其“精確值”。近似值在某種情況下必定是不正確的，而精確值在任何情況下都是正確的。

所以，我們可以這樣理解dx：“將原本用短條寬度Δx計算的數值，看作趨向於0的‘精確值’。”

總結一下，德爾塔（Δ）和英文小寫字母d分別在以下情況中使用。

另外，雖然微積分中會出現各種各樣的公式、符號，不過初學者最開始不太理解這些東西也沒有關係，對Δ和d也同樣如此。

何為“接近精確值”

我們將短條的寬度不斷縮小，然後嘗試計算圓的面積。為了便於之後的計算，假設圓的半徑為1 cm（圖10）。如果在這個圓的內部排列短條並計算其總面積，結果會怎麼樣呢？

在這裡，設短條的條數為N。用直徑2（半徑為1，直徑是半徑的2倍，所以直徑為2）除以短條的條數（N），就能夠得出每一條短條的寬度Δx。也就是說，Δx是好書推薦｜簡單微積分：學校未教過的超簡易入門技巧

寬度為Δx的短條的面積總和，在短條條數（N）增加時會如何變化呢？我們來實際確認一下。逐一計算不同條數下所有短條的總面積很麻煩，不過使用計算機的話可以一下子解決，結果如表1所示。

在表1中，我們計算了短條數從10條到20 000條時的短條總面積。條數（N）為20 000時，每條短條的寬度Δx是半徑的1/10 000，只有0.000 1 cm。

我們從表1的結果中可以發現，條數為10時，總面積是2.637 049，這個數值和3.14…迥然不同；當條數為20 000時，總面積則成了3.141 391。怎麼樣？是不是可以切實感受到，當短條的條數增加時，短條的總面積會逐漸接近3.141 592 6…=π。

另外，雖然短條寬度為0.000 1 cm已經是纖細至極，但在分割圖形時並不算是“精細”的尺度。實際計算積分時，會使用比0.000 1 cm更精細、更接近0的尺度。

神永正博（Kunihiko Kodaira） 1967年出生於東京，理學博士，日本東北學院大學教授。曾在京都大學研究生院理學研究所（數學方向）進行博士後期課程學習。主要研究方向為解析學（作為量子力學基礎方程式的薛定諤方程）以及密碼理論。主要著作有《看穿謊言的統計學》《數學思考法》，另外審閱翻譯的著作有《漫畫統計學入門》等。