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回顧中學數學
1. 百年前的講演
20 世紀已經過去，這是一個偉大的世紀。在這個世紀，數學得到了前所未有的迅猛發展。在這個世紀即將來臨時，1900 年8 月5 日，法國數學家希爾伯 特(David Hilbert 1862-1943)在巴黎第二次國際數學家大會上作了題為“數學 問題”的著名講演【1】。這是一個載入史冊的重要講演。他在講演的前言和結束語 中，對數學的意義、源泉、發展過程及研究方法等，發表了許多精闢的見解，而 整個講演的主體，則是他根據十九世紀數學研究的成果和發展趨勢而提出的23個數學問題。這些問題涉及現代數學的大部分重要領域。一百多年來，這些問題 一直激發著數學家們濃厚的研究興趣。到現在為止，這些問題近一半已經解決或 基本解決，但還有些問題雖已取得重大進展，而未最後解決，如:Riemann猜想，Goldbach猜想等。
對Hilbert 在1900 年提出的23 個問題，現在回過頭來看，有不少評論，但 是很多人認為:這些問題，對推動20 世紀數學的發展起了很大的作用，當然也 有評論說其不足之處，例如這23 個問題中未能包括拓撲、微分幾何等在20 世紀 成為前沿學科領域中的數學問題;除數學物理外很少涉及應用數學等等。當然更 不會想到20 世紀電腦的大發展及其對數學的重大影響。20世紀數學的發展實際 上是遠遠超出了Hilbert 問題預示的範圍。
D. Hilbert是19世紀和20世紀數學交界線上高聳著的三位偉大數學家之一。 另外二位是:龐加萊(Henri Poincaré, 1854-1912)及克萊因(Felix Klein，1849 -1925)。他們的數學思想及對數學的貢獻，既反射出19 世紀數學的光輝，也照 耀著20 世紀數學前進的道路。Hilbert 在1900 年作此講演時，年僅38 歲，但已 經是當時舉世公認的德高望重的三位領袖數學家之一。
D.Hilbert 是在上一個世紀，新舊世紀交替之際作的講演，現在又一個新 的世紀開始了，再來看看他的講演，其中一些話，現在仍然適用。例如在講演一 開始，他說:“我們當中有誰不想揭開未來的帷幕，看一看在今後的世紀裡我們 這門科學發展的前景和奧秘呢?我們下一代的主要數學思潮將追求什麼樣的特 殊目標?在廣闊而豐富的數學思想領域，新世紀將會帶來什麼樣的新方法和新成果?”他還接著說:“歷史教導我們，科學的發展具有連續性。我們知道，每個 時代都有自己的問題，這些問題後來或者得以解決，或者因為無所裨益而被拋到 一邊並代之以新的問題。因為一個偉大時代的結束，不僅促使我們追溯過去，而 且把我們的思想引向那未知的將來。”
20 世紀無疑是一個數學的偉大時代。21 世紀的數學將會更加輝煌。“每個 時代都有它自己的問題”。20 世紀來臨時，Hilbert提出了他認為是那個世紀的23 個問題。這些問題對20 世紀的數學發展起了很大的推動作用，但20 世紀數學的 成就卻遠遠超出他所提出的問題。那末，21世紀的問題又是什麼呢?在這個新、 舊世紀之交，也有不少傑出的數學家提出了他們認為是21 世紀的數學問題，但 往往是“仁者見仁，智者見智”。到現在為止，所有提出的這些問題，還沒有一 些像Hilbert 當時提出的23 個問題那樣為大家所普遍接受。
對Hilbert的23 個問題，不在這裡介紹了，有興趣的讀者可參閱李文林的著 作【2】。但百年前，Hilbert講演中對數學的一些見解都是非常深刻的。百年過去 了，重讀他的講演，依然得到很多啟示。當然不可能在此對他的講演中各個部分 都來闡述自己的體會，只想講一點他說的其中一段話自己的粗淺認識。
從17 世紀60 年代，微積分發明以來，數學得到了極大的發展，分支愈來 愈多。開始時一些大數學家，對各個分支都懂，並做出了很多重大貢獻，但後來 數學的分支愈分愈細，全面懂得各個分支的數學家愈來愈少。到19 世紀末，Hilbert 做講演時，已經是這種情況。於是在講演中，他說了這樣一段話:“然而，我們 不禁要問，隨著數學知識的不斷擴展，單個的研究者想要了解這些知識的所有部 門豈不是變得不可能了嗎?為了回答這個問題，我想指出:數學中每一步真正的 進展都與更有力的工具和更簡單的方法的發現密切聯繫著，這些工具和方法同 時會有助於理解已有的理論並把陳舊的、複雜的東西拋到一邊。數學科學發展 的這種特點是根深蒂固的。因此，對於個別的數學工作者來說，只要掌握了這些 有力的工具和簡單的方法，他就有可能在數學的各個分支中比其它科學更容易地 找到前進的道路”。一百多年過去了，數學發展得更為廣闊與深入，分支愈來愈 多，現在數學已有60個二級學科，400 多個三級學科，更是不得了。，所以Hilbert 的上述這段話現在顯得更為重要。不僅如此，Hilbert 的這段話實際上講的是數學 發展的歷史過程，十分深刻地揭示了數學發展是一個推陳出新、吐故納新的過程，是一些新的有力的工具和更簡單的方法的發現與一些陳舊的、複雜的東西被拋棄 的過程，是
“高級”的數學替代“低級”的數學的過程，而“數學科學發展的這 種特點是根深蒂固的”。事實上，在數學的歷史中，一些新的有力的工具和更簡 單的方法的發現，往往標誌著一個或多個數學分支的產生，是一些老的分支的衰 落甚至結束。回顧一下我們從小開始學習數學的過程，就是在重複這個數學發展的過程。 一些數學雖然後來被更有力的工具和更簡單的方法所產生的新的數學所替代了， 即“低級”的被“高級”的所替代了，但在人們一生學習數學的過程中，卻不能 只學習“高級”的，而完全不學習“低級”的，完全省略掉學習“低級”的過程。 這是因為人們隨著年齡的不斷增長，學習與他的年齡與智力發育相當的數學才是 最佳選擇，學習數學是一個循序漸進的過程，沒有“低級”的數學打好基礎，很 難理解與學習好
“高級”的數學。以下我們從Hilbert 講演中的這一段精闢的論述的角度來認識我們的中小學 的數學課程，也只是從數學發展的歷史的角度來討論問題，這與教育的角度來考 慮問題，雖有聯繫，但是是不一樣的。
2. 算術與代數
人類有數的概念，與人類開始用火一樣古老，大約在三十萬年前就有了，但
是有文學記載的數字到公元前3400 年左右才出現，至於數字的四則運算則更晚。 在我國，《九章算術》是古代數學最重要的著作，是從先秦到西漢中葉的眾多學 者不斷修改、補充而成一部數學著作，成書年代至遲在公元一世紀。這是一本問 題集形式的書，全書共246 個題，分成九章，包含十分豐富的內容，在這本書中 有分數的四則運算法則、比例算法、盈不足求、解三元線性代數方程組、正負數、 開方以及一些計算幾何圖形的面積與體積等。在西方，也或遲或早地出現了這些 內容，而這些內容包括了我們從小學一直到中學所學習“算術”課程的全部內容。 也就是說，人類經過了幾千年才逐漸弄明白起立起來的
“算術”的內容，現在每 個人的童年時代花幾年就全部學會了。對於“算術”來講，“真正的進展”是由於“更有力的工具和更簡單的方法的發現”，這個工具與方法是“數字符號化”，從而產生了另一門數學“代數”，即現在中學中的“代數”課程的內容。在我國，這已是宋元時代(約13 世紀五、 六十年代)，當時的著作中，有“天元術”和“四元術”，也就是讓未知數記作“天” 元，後來將二個、三個及四個未知數記作“天”、“地”、“人”、“物”等四元，也 就是相當於現在用x、y、z、w 來表達四個未知數。有了這些“元”，也就可以 解一些代數方程與聯立代數方程組了。在西方，徹底完成數學符號化是在16 世 紀。現在中學中學習的“代數”課程的內容，包括有一元二次方程的解，多元(一 般為二元、三元至多四元)聯立方程的解等。當然，在“數學符號化”之前，一 元二次方程的解，多元聯立方程的解是已經出現，例如我國古代已有一些解一般 數字係數的代數方程的“算法程序”，但這些都是用文字表達的，直到“數字符 號化”之後，才出現了現在中學代數內容的形式。
由“數字符號化”而產生的中學“代數”的內容，的的確確是“數學中真正的進展”。“代數”的確是“更有力的工具和更簡單的方法”。“算術”顧名思義， 可以理解為“計算的技術與方法”，課程名稱取為“算術”也許是從我國在古代 的《九章算術》而來，而“代數”可以理解為“以符號替代數字”，即“數字符號化”。人類從“算術”走向“代數”經歷了千年，但在中學的課程中，卻只花 短短的幾年就可以全部學會這些內容。
在這裡，我要重複說一遍，儘管中學的
“代數”比小學的“算術”來的“高級”，是“更有力的工具和更簡單的方法”，但並不意味著小學的“算術”就可以 不必學了。這是因為:(1)“算術”中的一些內容不能完全被“代數”所替代，如 四則運算等;(2)即使是能被替代的內容，適當的學習一些，有利於對“代數”內 容的認識與理解;(3)從教育學的角度考慮，這裡有循序漸進的問題，有學生不同 年齡段的接受能力的問題等等。作為中學“代數”中的一個重要內容是解多元一次方程組。在中學“代數” 的教材中，一般著重講二元或三元一次聯立方程組，所用的方法是消元法，但是 如果變元為四個或更多時，就得另想辦法來建立起多元一次聯立方程組的理論。
經過很多年的努力，向量空間即線性空間，線性變換即矩陣的概念產生了，這不但給出了多元一次聯立代數方程組的一般理論，而且由此建立起一門新的學科
“線性代數”。這是又一次“數學中真正的進展”。由於“更有力的工具和更簡單的方法”，即向量空間即線性空間，線性變換即矩陣的概念與方法的建立，不僅對多元一次聯立代數方程組的理解更為清楚，更為深刻，且由於有了統一處理的 方法，可以把個別地處理方程組的方法“拋到一邊”。當然“線性代數”的產生 還有些其它的因素，但解多元一次聯立代數方程組是“線性代數”最重要，最生 動的模型，而“線性代數”的產生的確再次印證了Hilbert 所說的那段話。在中學“代數”中另一重要內容是解一元二次方程。在古代，例如《九章算 術》中已有解一般一元二次方程的算法，後來有很多的發展，直到花拉子米(M. al-khowarizmi, 約783-850)給出了相當於一般形式的一元二次方程的一般的求根公式為
(但他不取負根和零根)。1545年由卡爾丹(G. Cardano, 1501-1576)公佈了塔塔利亞(N. Fontana, 1499-1557)發現的解一元三次方程的解。而一元四次方程的解由費拉里(L. Ferrari, 1522-1556)所解決。於是當時大批的數學家致力於更高次方程的求根式 解，即企圖只對方程的係數作加、減、乘、除和正整數次方根等運算來表達方程 的解。經過了二個世紀的努力，大批數學家都失敗了，直到1770 年，拉格朗日(J. Lagrange, 1736-1813)看到了五次及高次方程不可能做到這點。又過了半個 世紀，1824年阿貝爾(N. Abel, 1802-1829)解決了這個問題，即對於一般的五 次和五次以上的方程求根式解是不可能的，但什麼樣的代數方程能根式可解，這 是伽羅瓦(E. Galois, 1811-1832)所解決。他證明了:方程根式可解當且僅當它 的Galois 群可解，當然在這裡不解釋什麼是Galois 群，什麼叫可解。Abel 與Galois 不僅解決了三百年來無法解決的著名難題，更重要的是:為了解決這個問題，他 們建立起了 “域”與“群”的概念。這就意味著現代代數理論的產生。這是又一 次“數學中真正的進展”。它是由於“更有力的工具和更簡單的方法”，即“域” 與“群”的發現而造成的。有了“域”，尤其是“群”以及後來發展起來的現代 代數理論，可以更清楚，更深刻地理解以往高次代數方程求根式解的問題，而的 確可以把以往那些“陳舊的，複雜的東西拋到一邊”。從此翻開了數學嶄新的一 頁。以“群”、“環”、“域”為基本內容與出發點的現代代數理論，在大學的課程 中的“近世代數”就是介紹這些內容的，這已成為現代數學中的基本內容與語言 之一，它們在歷史上及現代數學中都有不可估量的作用。例如:1872 年由Klein提出的著名Erlanger Program, 即認為各種幾何學所研究的實際上就是在各種變 換群下的不變量這個數學思想，是企圖將以往看來關係不大的各種幾何學用統一 的觀點來認識與研究，不僅對幾何學的發展，而且對整個數學的發展起了巨大的 作用。又例如:討論了幾千年的尺規作圖問題，由於域論的出現而徹底解決。所 謂尺規作圖問題，就是用無刻度直尺和圓規作出平面或立體圖形，最為著名的如 古希臘三大幾何作圖問題。1.三等分角，即分任意角為三等分。2.倍立方體， 即作一個立方體，使其體積等於已知立方體的兩倍。3.化圓為方，即作一個與 給定的圓面積相等的正方形。這些問題的提出是公元前5 世紀以來逐漸形成的， 也不知有多少人為之努力過而徒勞無功，而這些問題的徹底解決不過是域論中一 個基本而簡單的結論的推論。
近世代數的來源與發展當然還有其它的因素，但Abel, Galois 的貢獻無疑是 奠基性的。線性代數與近世代數之間有著深刻的聯繫。例如:線性代數所討論的 一個線性變換作用在一個向量空間上成為近世代數中“模”的最基本的一個模型。
可以將本節所討論的簡略畫一個圖形如下:
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