雖說陳景潤對“1＋2”的證明，離哥德巴赫猜想("1＋1")的證明看起來只差一步之遙；但是，從那以後，人們再也沒有前進過半步了。
老路看來已經走到頭了，新路會出現嗎？
有這麼一個問題：
對任意給定的一個自然數n＞1，是否至少存在一個非負整數k，使得n＋k與n－k同為素數？
明眼人會一下子看出：這個問題的實質就是哥德巴赫猜想！
因為對於任意給定的偶數2n＞2，如果使得n＋k與n－k同為素數的非負整數k存在，這將意味著哥德巴赫猜想的成立。
2n不就顯然可以表示為兩個素數之和了嗎？顯然：2n＝(n＋k)＋(n－k) 。
而哥德巴赫猜想是指下述命題猜想：
任意一個大於2的偶數，都可以表示為兩個素數之和。
例如10可以表示為兩個素數3與7之和：10＝3＋7。
哥德巴赫猜想認為這個規律對於所有大於2的偶數都成立。
因此，我們不妨討論使得n＋k與n－k同為素數的基本條件。
這會是一條通往哥德巴赫猜想證明的新路嗎？
我們不難得知：
- 如果n＋k不能被所有不大於√(n＋k)的素數所整除，那麼n＋k必為素數；
- 如果n－k不能被所有不大於√(n－k)的素數所整除，那麼n－k必為大於√(n－k)的素數或1。
顯然，必有k＜n。
我們不妨分析n＋k與n－k均不能被不大於√2n的所有素數整除時，k與n之間的關係情況。
我們分析的角度是考察k對這些素數模的同餘情況，與n對這些素數模的同餘情況的關聯。
不妨設變量p(x)代表不大於√2n的任意素數；
再設n≡d(x) (mod p(x))，其中非負整數變量d(x)＜p(x)，則有如下結論：
- 如果k≡p(x)－d(x) (mod p(x)) 不成立，則n＋k≡0 (mod p(x))不成立，也即n＋k不能被任意不大於√2n＞√(n＋k)的素數p(x)整除；從而，n＋k為素數。
- 如果k≡d(x) (mod p(x)) 不成立，則n－k≡0 (mod p(x))不成立，也即n－k不能被任意不大於√2n＞√(n－k)的素數p(x)整除；從而，n－k為素數或1。
綜合上述必有如下定理：
如果：
n≡d(x) (mod p(x))，並且k≡p(x)－d(x) (mod p(x)) 與 k≡d(x) (mod p(x)) 均不成立；
那麼：
當n－k≠1時，n＋k與n－k必同為素數。
接下來，我們不妨舉一個例子說明：
令n＝50，於是√2n＝√100＝10，而不大於10的素數為2，3，5，7，於是有：
- 當p(x)＝2時，d(x)＝0，因為50≡0 (mod 2)；從而可令 k≡0 (mod 2)不成立；
- 當p(x)＝3時，d(x)＝2，因為50≡2 (mod 3)；從而可令 k≡1 (mod 3)或k≡2 (mod 3)不成立；
- 當p(x)＝5時，d(x)＝0，因為50≡0 (mod 5)；從而可令 k≡0 (mod 5)不成立；
- 當p(x)＝7時，d(x)＝1，因為50≡1 (mod 7)；從而可令 k≡6 (mod 7)或k≡1 (mod 7)不成立；
根據上述4個條件，我們可在0～49中篩出非負整數k的合適取值：
根據第1、2個條件，顯然k必須是3倍數奇數，也即3，9，15，21，27，33，39，45；
根據第3個條件，我們進一步篩掉5倍數，剩下3，9，21，27，33，39；
根據第4個條件，我們最後篩掉27，剩下3，9，21，33，39。
此時可分別令：
k＝3時，有n＋k＝53與n－k＝47同為素數，有100＝53＋47；
k＝9時，有n＋k＝59與n－k＝41同為素數，有100＝59＋41；
k＝21時，有n＋k＝71與n－k＝29同為素數，有100＝71＋29；
k＝33時，有n＋k＝83與n－k＝17同為素數，有100＝83＋17；
k＝39時，有n＋k＝89與n－k＝11同為素數，有100＝89＋11；
k＝47其實也是成立的，但在我們”令k≡2 (mod 3)不成立”時給篩掉了，此時n－k＝3雖被3整除但是n－k是素數。
這說明我們所設定的過濾篩子其實過密。
然而這是不妨事的，因為我們在這裡的原則是“寧可錯殺”。
我們從上述篩法過程中可估算出滿足條件的非負整數k的個數至少有：
[50×1/2·1/3·4/5·5/7]＝4 個
（這裡[ ]為取整符號，下同）
事實上“k≡1 (mod 7)不成立”這個條件是無需用上的，因此，更準確的估算應是至少有：
[50×1/2·1/3·4/5·6/7]＝5 個
於是我們不妨同理運用上述方法，另尋一條通往哥德巴赫猜想證明的新路。
不妨設不大於√2n的最大素數是p(m)，並且p(m)為自然數中的第m個素數；
再設滿足n＋k與n－k同為素數的非負整數k的數目是S，那麼必有：
S＞[ n×1/2·1/3·3/5·5/7·……·(p(m－1)－2)/p(m－1)·(p(m)－2)/p(m) ]
＞[ n×1/2·1/p(m) ]
≥ [ n/2·1/√2n ]
＝[ √2n/4 ]
顯然，當n≥32時，必有S＞2。
這意味著當n≥32時，總有2個以上的非負整數k，使得n＋k為素數並且n－k為素數或1；
也即至少有1個以上的非負整數k，使得n＋k與n－k同為素數。
而n＜32時，哥德巴赫猜想的成立顯然。
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