數學控制Club--18--2
初看起來,正整數與實數都是無窮多個,難道兩個無窮集合還能比較大小嗎?對此我們通常就不加以區別,這也是自亞里斯多德時期以來長達兩千多年的正統觀點.但仔細想來,總覺得應該是所有的實數比正整數多得多.這裡涉及到如何比較兩類事物的個數問題,或者抽象地講,任給兩個集合,我們該如何說明一個集合中的元素比另外一個集合中的元素多呢?就是這樣一個十分基本的比較多少的問題,直到19世紀中葉才由德國數學家康托爾(G.Cantor, 1845-1918)給與解決,他為此而發明的集合理論被希爾伯特讚譽為“19世紀數學中最天才的創造.”
康托爾關於區別無窮的思想雖然是革命性的,卻源自我們熟視無睹的一些簡單事實, 讓我們先從有限集合談起.給定兩個有限集合X和Y,在比較它們中誰的元素更多時,通常的方法是分別數出這兩個集合中元素的個數,然後從個數的大小確定哪個集合的元素更多些. 例如,當我們想了解學校裡甲乙兩個班哪個學生多時,自然是先看看甲乙兩個班各自有多少名學生,假如數出的結果是甲班有53名同學,二乙班有48名,從53>48就可斷定甲班比乙班的同學要多.但是,如果這兩個集合X和Y均為無限集,則上述數元素個數的做法就行不通了.康托爾獨具慧眼,他看出單純地比較兩個集合元素多少時,並不一定需要先分別數這兩個集合中的元素個數.
例如,當我們想了解在一個電影院裡有沒有空位時,一般不會去數觀眾的個數和座位的個數,然後再作比較.只要是一個觀眾佔一個座位,有無空位則是一目瞭然的.就是這類非常簡單的觀察和分析,竟然導致了康托爾對待無窮的新觀念.事實上,為了比較兩個無窮集合,只需要把它們的元素一一對應起來,如果哪一個集合有剩下的元素,則可認為該集合的元素要多.當然,這種比較方法對有限集合同樣的適用.
具體來講,對任意兩個集合X,Y,如果存在從X到Y的一一對應,則稱X和Y的基數相等,即它們的元素個數一樣多.每個集合X均有一個基數,記為|X|,它是通常正整數的推廣,對此我們不作更多的說明,只需知道有限集合的基數等於其元素的個數即可.一般地,假如存在X到Y的單射,則稱X的基數不大於Y的基數,記為|X|<=|Y|.這樣,康托爾對每個集合都定義了一個基數,通過建立一一對應關係,就能夠比較任意兩個集合的大小了.
康托爾把全體正整數的基數記為$\aleph_0$(讀作阿列夫零),把有限集合以及具有基數$\aleph_0$的集合統稱為可數集,這是非常直觀的.從1874年開始,康托爾就全力研究其它一些無窮集合的基數問題. 容易看出全體整數的集合Z以及所有的有理數構成的集合Q都能與正整數集合建立一一對應關係,因此它們都是可數集,基數均為$\aleph_0$.接下來,當康托爾研究直線以及空間的基數時,卻出現了驚人的事實.我們先考慮所有實數構成的集合R,從下述反正切函數
即可建立開區間 (0,1) 到R的一一對應關係,從而二者的基數相等. 因為全體實數與直線上的點能夠一一對應,所以,開區間中的點與整個直線上的點一樣多.現在的問題是:實數和正整數比起來,哪個更多呢?
通過仔細的分析,康托爾證明了實數的確比正整數要多,從而實數集是不可數集. 康托爾把實數集(他稱之為連續統)的基數記為c,它是連續統(continuum)的第一個字母.於是$\aleph_0 接著,在1874年康托爾又著手研究n維空間R^n的基數,他企圖證明這是一個更大的基數.但出乎預料的是,三年後康托爾反而證明了R^n與R存在一一對應,即空間的基數都是c.由此表明整個空間R^n中的點竟然和一個線段(0,1)中的點一樣的多,這真是不可思議的一件事,無怪乎康托爾本人也對戴德金說道:“我看到了它,但我簡直不敢相信它.” 那麼,比c更大的基數去哪兒尋找呢?更為深刻的是,在$\aleph_0$和c之間還有其它的基數嗎? 這兩個問題我們留待下回答.
閱讀更多 數學與控制論學習筆記 的文章
