原文: https://betterexplained.com
译文: http://jakwings.is-programmer.com/posts/29546.html
虚数
虚数这个概念经常让我感到困惑。就像是理解 e 一样，许多解释基本上都可以归为这两类：
- 这是一种数学抽象，这是方程式产生的结果，只管接受它就行了。
- 这个将用在高级物理中，相信我们吧，等你到了大学你就明白了。
专家们，这真是一种激励孩子们积极好学的方法啊！今天就让我们用我么最喜欢的工具来攻克它吧：
- 关注其中的关系，而不是机械化的方程式。
- 把复数当作我们原有数字系统的升级版，就像0，十进制和负数那样。
- 使用可视化的图表，而不只是文字，来理解这个概念。
还有我们的秘密武器：通过类比来进行学习。我们通过对比它的先辈，负数，来进行学习。以下就是你的指南书：
看起来好像没什么意义，但是先把它放一边。到最后我们将先抓到它，然后再攻克它，而不是反之。
5.1 真正的理解负数
负数并不简单。假设你是18世纪的一名欧洲数学家。你有3和4，你知道4-3＝1。很简单。
但是3－4呢？这，到底，意味着什么呢？你怎么能从3头奶牛中拿走4头？你怎们能拥有比空无一物更少的东西呢？
负数被认为是荒谬的，甚至被认为“导致整个数学都黯淡无光”（Francis Maseres，1759年）。但是在今天，认为负数符合逻辑或者是有用的并不荒谬。试着问问你的老师负数是否毁坏了数学的根基。
到底发生了什么呢？我们引入了一种有着一些有用性质的理论数字。我们摸不到，也抓不住负数，但是它很好的描述了一些确定的关系（比如债务）。这是一个很有用的虚构。
相比说“我欠你30元”，然后看看文字确认到底是你欠我还是我欠你，我可以直接写下“-30”，这样我就知道是我欠你了。如果我赚到了钱，还请了债务（-30+100＝70），我可以很容易的记录这笔交易。我还剩下70元，这意味着我已经没有负债了。
正负标记可以自动的帮我们记录方向——你不要一一判断每笔交易。数学可以让这更简单，更优雅。负数是“有形还是无形”其实无所谓——它们有着一些有用的性质，直到它们真正进入我们的生活我们才把它们发挥的淋漓尽致。如果你没有“得到”负数的话，你就会背上恶名（obscene name，应该是指美国的信用卡消费文化——译者注）。
但是我们不应自以为是：负数是一次智力的大飞跃。即使是欧拉，那位发现了e以及其他东西的天才数学家，也不像我们今天这样了解负数。负数被认为是“没有意义”的结果（最后他也随大流接受了这样的结果）。
这只是一个简单的证明，告诉我们今天的孩子们的智力应该可以更容易接受这些观点，即使这些观点曾经让很多数学前辈们很是困惑。
5.2 进入虚数的世界
虚数也有一个类似的故事。我们可以很轻易的解出以下方程：
x²＝9
答案是3和-3。但是加入有一个聪明人加入了一个小小的负号呢：
x²＝－9
哦。许多人第一次见到这个方程就退缩了。你想把一个比零还小的数字开平方，这是荒谬绝伦的。
这看起来很疯狂，就像负数，0，还有无理数（非重复数字）首次被引入时一样疯狂。这个方程并没有什么“实在”意义，对吧？
错了。所谓的“虚数”就像其他数字一样正常（即使它们也是被造出来的）：它们是描述世界的一种工具。就像假设-1，0.3，0“真实存在”一样，让我们也假设一些i存在吧：
i²＝－1
这就是，你把i自乘两次就得到-1.接下来会发生什么呢？
首先我们会头疼。让我们玩个“假装i存在”的游戏吧，这样可以让数学更简单，更优雅。这样其中的关系就可以很容易的浮现出来了。
你或许不相信i的存在，就像那些老前辈们不相信-1的存在一样。现在是一个新的让我们难以理解的概念，现在还看不出有什么意义，即使是欧拉也没有。但是正如负数告诉我们的，怪异的概念一样可以有用。
我不喜欢“想象出来的数”这种称呼——这是一种设计好的侮辱，诽谤，故意伤害i的感情。i就像其他数字一样正常，但是“虚数”这个名字既然一直沿用下来了，我们只好继续使用。
5.3 以一种可视化的方法理解负数与复数
方程式 x²＝9也可以表示成：
1·x²＝9
x应该是什么，使得它自乘两次后，1变成了9？
两个答案就是“x＝3”与“x＝-3”：这就是，你“乘以3”或者“乘以3，然后翻转”（翻转或取反是乘以负数的另一种解释）。
接下来让我们考虑以下 x²＝-1，这其实就是：
1·x²＝-1
x应该是什么，可以使它自乘两次后，1变为-1？
- 我们不可能乘以一个正数，因为乘以正数以后还是正数
- 我们不能乘以一个负数两次，因为相乘两次后又会变为正数。
但如果是…… 旋转呢！这听起来很疯狂，但是如果我们假设x被“转过了90度”，然后乘以x两次那就是旋转180度，也就是把1翻转成了-1！
耶！让我们继续深入考虑下去，我们可以把它绕其他方向旋转（比如说顺时针方向）来从1变为-1.这就是“负向”旋转或者是称作乘以-i：
如果我们乘以-i两次，我们把1变成-i，然后-i变成-1，所以-1确实存在两个根：i与-i。
这个很酷。我们有一些答案，但是这说明了什么呢？
- i是一个“新的想像出来的维度”，来标记数字
- i（或者-i）就是指数字“被旋转”
- 乘以i就是沿逆时针方向旋转90度
- 乘以-i就是沿顺势正方向旋转90度
- 无论那个方向，旋转两次就是-1：这就把我带回到“传统”的正负维度上去了。
数字是二维的。是的，这样可能有些难以理解，这就像让古罗马人理解十进制与长除法一样（你说1和2之间还有数字是什么意思？）。
我们会问“怎样通过两步，把1变成-1”，然后我们就找到了答案：把它旋转90度。这确实是一个奇怪但是又让我们耳目一新的方法来理解数学。而且它很有用。（顺便提一下，这种用几何的方法解释复数的方法直到i被发现几十年后才被引入）
此外，逆时针为正是人们的一个约定俗成习惯——其他表示也是可以的。(未完待续)
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