本次的這道軸對稱型全等三角形的例題不同於之前文章中的例題，也因此本題也有所難度，且就原圖來看，也不易看出軸對稱型的關鍵：對稱軸以及對應全等的三角形。那麼當拿到這類的題目，應該如何分析呢？那麼進入正題，一起來看看詳細的分析過程吧！
例29 如圖5-90，已知：過⊙O的圓心O向圓外直線MN作垂線，垂足是A，過A作⊙O的兩割線ABC、ADE分別交⊙O於B、C、D、E，CD、EB的延長線交MN於F、G。求證：AF=AG。
圖5-90
分析：本題要證明AF=AG，且OA是過圓心所作FG的垂線，所以這兩條相等的線段AF、AG是關於OA成軸對稱的，從而就可以添加軸對稱型的全等三角形進行證明。添加的方法是將△AFC沿對稱軸OA翻折過去，於是在⊙O中，首先應將這條對稱軸添完整，即延長AO交⊙O於H，若AO交⊙O於P，那麼PH就是⊙O的直徑。接下來就可將△AFC進行翻折，也就是過C作CC′⊥AH交⊙O於C′，並聯結C′A、C′G，AC交⊙O於B′（如圖5-91），那麼問題就應證△FAC和△GAC′全等。
圖5-91
在這兩個三角形中，我們已經可以證明的性質有：根據垂徑定理，可得AH是CC′的中垂線，所以AC=AC′，∠C′AH=∠CAH，而已知OA⊥FG，從而又有∠FAC=∠GAC′，於是要證明這兩個三角形全等，就還需要證明一個條件。由於∠FCA是⊙O的一個圓周角，可應用圓周角的基本圖形的性質，所以第三個性質可考慮證∠FCA=∠GC′A。由於B、C、E、D四點共圓，就可得∠ACF=∠AEG，所以只要證明∠AEG=∠AC′G（如圖5-92），而這兩個角相等的關係一出現，問題也就成為要證A、E、C′、G四點共圓，於是連接C′E（如圖5-93），由於又出現了∠GEC′是⊙O的一個圓周角，所以問題可進一步轉化為要證∠GAC′=∠GEC。由條件E、B、C、C′四點共圓，∠BEC′+∠BCC′=180°，而由C′C∥FG，又可得∠BCC′=∠CAG，而∠CAG+∠FAC=180°，所以有∠BEC′=∠FAC。但我們已證∠FAC=∠GAC′，所以∠GAC′=∠GEC′就可以證明。
圖5-92
圖5-93
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